Conceptos De Matematicas

CONCEPTO DE NUMEROS

Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar el orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para representarlo, dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama dígito.

En matemática moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales, complejos.

TIPOS DE NUMEROS

Los números más conocidos son los números naturales, denotados mediante , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante . Los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros, el conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como .

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco es racional. Igualmente la solución de numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales .

• Números naturales

o Número primo

o Números compuestos

o Números perfectos

• Números enteros

o Números negativos

o Números pares

o Números impares

• Números racionales

• Números reales

o Números irracionales

o Números algebraicos

o Números trascendentes

• Extensiones de los números reales

o Números complejos

o Números hipercomplejos

 Cuaterniones

 Octoniones

o Números hiperreales

o Números súper reales

o Números sub reales

• Números usados en teoría de conjuntos

• Números infinitos

• Números transfinitos

Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cuál de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, sólo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal.

En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base.

Sistema de numeración maya

Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta, similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.

Los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas

Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.

Los mayas tenía tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes de cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.3

La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.

Sistema de numeración romano

El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

Aunque hoy los numerales romanos se escriben con letras del alfabeto romano, originalmente eran símbolos independientes. Los etruscos, por ejemplo, usaron I, Λ, X, ⋔, 8 y ⊕ para representar I, V, X, L, C, y M, de los cuales sólo la I y la X eran letras de su alfabeto. Según cierta etimología popular, la V representaba una mano y la X se hizo poniendo una V al derecho encima de otra V invertida. No obstante, tal parece que los numerales etrusco romanos vienen realmente de muescas, marcas o rayas que se tallaban en varas, palos y huesos para llevar conteos (como el hueso de Ishango), usados por pastores tanto dálmatas como italianos hasta el siglo XIX

NUMEROS REALES

En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Operación con números reales: Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen

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