Conjuntos

Conjuntos

En este capítulo abordamos los elementos básicos de la teoría de conjuntos.

Los conjuntos se han convertido en los objetos matemáticos más fundamentales,

sobre los que se construye el resto de las matemáticas. Y la teoría de conjuntos,

a su vez, se edifica sólidamente sobre axiomas mediante las leyes de la lógica de

las que se ha hecho un esbozo en el capítulo precedente.

Por ello la primera sección de este capítulo se dedica a declarar los axiomas

que usaremos, para continuar después mediante definiciones y teoremas con

sus demostraciones. La colección de axiomas de la teoría de conjuntos es un

tema complicado y nunca cerrado a la discusión. Actualmente se considera como

esquema básico el de los nueve axiomas de Zermelo y Fraenkel. Sin embargo,

para nuestro propósito, mucho más modesto, de introducir las operaciones entre

conjuntos, basta con cinco axiomas y a ellos nos limitaremos. Los otros axiomas

son necesarios para desarrollar la teoría de los ordinales y los cardinales, y se

pueden encontrar, por ejemplo, en libros como [1], [2], [4] o [5].

En la segunda parte del capítulo se introducen las operaciones del complemento,

Union e intersection. Las definiciones son una traducción, paso por paso,

de los conectores entre proposiciones lógicas: negación, disyunción y conjunción

respectivamente. Por ello no debe extrañar que el ´algebra de conjuntos sea

idéntica al ´algebra de proposiciones (es la estructura algebraica conocida como

´algebra de Boole). Finalmente se define una operación más entre conjuntos, el

Producto cartesiano, que no tiene un análogo en el capítulo anterior.

Axiomas y primeras definiciones

Cualquier intento de definir el concepto de conjunto está condenado a enumerar

sinónimos como son colección, familia, agregado, agrupación, etc. Lo importante

de la idea que asociamos al término conjunto es que contiene elementos y debemos poder expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto: la pertenencia es el concepto sobre el que se construye la teoría de conjuntos, es el concepto primitivo (es decir, que no se define). El símbolo que indica que x 31

CONJUNTOS

pertenece al conjunto A es x 2 A, y decimos que x es elemento de A, mientras

que x /2 A es su negación.

La teoría de conjuntos tiene esencialmente dos actividades: comparar conjuntos

y construir nuevos conjuntos a partir de unos dados (para, después, comparar

los nuevos con los originales). En cualquiera de los dos casos, la teoría

usa conjuntos ya existentes, no puede crear un conjunto de la nada. Por ello el

primer axioma que enunciamos es el que dice que, al menos, existe un conjunto

de modo que toda la teoría no se quede vacía.

Axioma (De existencia). Existe un conjunto.

La primera tarea es, por tanto, comparar conjuntos. La comparación más

básica es saber si dos conjuntos son iguales o no, que es lo que resuelve el segundo

axioma.

Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen

los mismos elementos. De manera simbólica lo escribimos

A = B , 8x(x 2 A $ x 2 B).

Lo que dice este axioma es que un conjunto queda completamente caracterizado

por los elementos que contiene, y no importa si los elementos los guardamos

en una caja o en una bolsa, si los ordenamos o están desordenados; sólo importa

cuáles son los elementos. También se llama axioma de extensión porque permite

definir un conjunto describiendo todos y cada uno de sus elementos, es decir,

describiendo su extensión. Para definir un conjunto por extensión se escriben

sus elementos entre llaves, por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Ejemplo. En vista del axioma de igualdad, es claro que {1, 2, 3} = {2, 3, 1}

ya que los dos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. Más a ‘un,

también se cumple {a, a} = {a} por la misma razón.

Ahora podemos definir otra forma de comparar conjuntos más poderosa

que la mera igualdad: la inclusión, en la que definimos cuándo un conjunto

está contenido en otro y lo llamamos subconjunto.

Definición. Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, y se denota

B _ A, si todo elemento de B es elemento de A. Es decir,

B _ A , 8x(x 2 B ! x 2 A).

Para ver que la inclusión es una comparación más poderosa que la igualdad, en

el siguiente resultado se indica cómo verificar la igualdad de conjuntos usando

la inclusión: la igualdad es una doble inclusión.

Teorema. Dos conjuntos son iguales si, y sólo

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