Conjuntos

Conjuntos

Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:

x  A.

que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:

x  A.

Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:

A = { 2, 3, 5}

Esto se conoce como expresión por extensión del conjunto.

Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números pares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

B = { x / x es par}

lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.

1) Igualdad de Conjuntos.

El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos escribir:

(A = B)  ( x)(x  A  x  B).

2) Inclusión:

En la inclusión de conjuntos podemos destacar tres propiedades importantes que enseguida veremos:

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:

A ⊂ A

Hemos definido que un conjunto está incluido en otro si todos sus elementos pertenecen al otro conjunto. Con mucha más razón, todos los elementos del conjunto A pertenecen al mismo conjunto A. Es reflexivo.

El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos:

A ∅ ⊂

El conjunto vacío se representa así

“∅”

Y está incluido en cualquier conjunto.

Si un conjunto está incluido en otro y éste en un tercero, entonces el primero conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es transitivo.

3) Unión.

La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A  B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

x  ( A  B)  x  A  x  B.

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

A  B = {x / x  A  x

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