Definición de límite por la derecha

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

Definición de límite por la derecha

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

Definición de límite por la izquierda

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a".

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

Límites determinados

Decimos que un límite es determinado cuando al calcularlo se obtiene un resultado que tiene sentido en R.

Se calculan los límites laterales. El límite será + ∞ o - ∞ , o no existirá porque sus límites laterales sean distintos.

El orden del infinito es mayor en ex que en x , por tanto, el denominador tiende a infinito mucho más rápido que el numerador.

Límites indeterminados

Decimos que un límite es indeterminado si al calcularlo el resultado no tiene sentido en R.

Se factorizan numerador y denominador.

Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.

Si hay raíces en el denominador se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador

Se opera la expresión antes de calcular los límites, o bien, si hay raíces como en este ejemplo, se multiplica y divide por la expresión conjugada.

Se opera la expresión antes de calcular el límite. En muchos casos se convierten en las del tipo: 0/0 o en ±∞/±∞

En estos casos se aplica logaritmo.

Da lugar a potencias del número e.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto:

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática (la función -x) es utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el resultado siempre positivo. Para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

Sea la función definida a trozos abs(x), se evalúan varias expresiones del dominio de f:

x abs(x) Función utilizada

−3 3 −x

−0.1 0.1 −x

0 0 x

1/2 1/2 x

5 5 x

Por lo tanto, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para que el valor del rango sea el correcto.

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

• Binomios

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