Limites por definición

Desarrollo

1. Limites por definición

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Podemos notar en la siguiente imagen, como sería la gráfica del límite de la función f(x) que es igual a L, cuando x tiende a c

Ejemplos de Limites por definición:

1) Lim f(x)= x³+x²-2x =

x----->5

Cuando x = 5

Lim f(x) = (5)3 + (5)2 – 2(5) = 125 + 25 – 10 = 140

Resultado: se dice que el límite de la función f(x) = x³+x²-2x es 140 cuando x tiende a 5.

Lim f(x)= x³+x²-2x = 140

x----->5

2) Lim f(x)= 3x³-2x²+2x-3 =

x----->3

Cuando x = 3

Lim f(x) = 3(3)3 – 2(3)2 + 2(3) – 3 = 81 – 18 + 6 – 3 = 66

Resultado: se dice que el límite de la función f(x) = 3x³-2x²+2x-3 es 66 cuando x tiende a 3.

Lim f(x)= 3x³-2x²+2x-3 = 66

x----->3

2. Limites por sustitución de Teoremas

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lim f(x) = f(x0)

x----->x0

Siempre que f(x0) esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.

Ejemplos de Limites por sustitución de teoremas:

1) Lim (x2 + 3x – 2)

x----->2

Lim (x2 + 3x – 2) = 22 + 3(2) – 2 = 8

x----->2

2) Lim (x3 + 4x2 + 3)

x----->3

Lim (x3 + 4x2 + 3) = 33 + 4(3)2 + 3 = 27 + 36 + 3 = 66

x----->3

3. Limites que resultan 0/0

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Ejemplos de límites que resultan 0/0:

1)

x³ + 27

Lim = ----------------

x→ -3.

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