Límites (definición formal)
Enviado por jorgberna • 13 de Febrero de 2013 • Tareas • 3.347 Palabras (14 Páginas) • 362 Visitas
Límites (definición formal)
Primero lee la introducción a los límites
Acercándose ...
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.
Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
... ...
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe:
Más formal
Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general
De español a matemáticas
Vamos a decirlo primero en español:
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir
"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"
Calculando "cerca"
A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?
Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01
Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2
Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.
"Qué tan cerca" = |a-b|
Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2
Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:
"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"
Y esta animación muestra lo que pasa con la función
f(x) = (x2 - 1) / (x-1)
• cuando x se acerca a a=1,
• f(x) se acerca a L=2
Así que
• |f(x)-2| es pequeño
• cuando |x-1| es pequeño.
Delta y epsilon
Pero "pequeño" es español, no "matemático".
Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:
para que |x-a| sea más pequeño que él
para que |f(x)-L| sea más pequeño que él
(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelen
usar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")
Y tenemos:
"|f(x)-L|< cuando |x-a|< "
¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...
... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:
1) 2) 3)
se cumple para todos los >0 existe y es >0 x no es exactamente igual que a significa 0<|x-a|
Y así queda:
"para cada >0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "
Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.
Cómo se usa en una demostración
Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir
De: A:
0<|x-a|< |f(x)-L|<
Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.
¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!
• Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
• Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.
Ejemplo: vamos a intentar probar que
Cómo vamos de:
(Nota: a=3, y L=10) 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<
Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
Empieza con: |(2x+4)-10|<
Simplifica: |2x-6|<
Saca el 2: 2|x-3|<
Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< /2
Aquí podemos adivinar que = /2 puede funcionar
Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.
Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< ? A ver...
Empieza con: 0<|x-3|<
Sustituye
...