Derivadas

Supongamos que \scriptstyle f es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

f(x, y) = x^2 + xy + y^2\,

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

\frac{\part z}{\part x} = 3

en el punto (1, 1, 3),

o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos[editar · editar código]

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}

Otro ejemplo, dada la función F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} tal que:

F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,

la derivada parcial de F respecto de x es:

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2

mientras que con respecto de y es:

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7

Definición formal[editar · editar código]

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =

\lim_{h \rightarrow 0}{

f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -

f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

O visto respecto a la derivada direccional:

\frac{ \part}{\part x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) =

\underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}

donde \vec{v} es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ({x_i}).

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

Notación[editar · editar código]

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.

Derivadas parciales de primer orden:

\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f

Derivadas

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