Derivadas

El primer ejemplo de la primera derivada

La expresión representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = en que π y r son constantes, luego derivando resulta:

pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

Ejercicios:

1. Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triángulo equilátero con respecto a su perímetro.

Sol.:

2. Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja del poste con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Con que rapidez se alarga su sombra?

Sol.:

3. Una escalera que tiene una longitud L (m) está apoyada en una pared, si su punto de apoyo con el suelo resbala alejándose de ella con una rapidez de 0,6 m/s, ¿Con que rapidez descenderá el punto de apoyo en la pared cuando el extremo en el piso esté a 1,5 m de la pared?

Sol.:

Criterio de la segunda derivada para cálculo de los extremos.

Así como la primera derivada mide la rapidez de variación de la función, la segunda derivada mide la rapidez de variación de la primera derivada, cuando la segunda derivada es positiva para un número c, significa que la primera derivada es creciente.

Si f´(c) = 0 y f´´(c) > 0, entonces f ´(x) crece, de valores negativos a valores positivos cuando x crece al pasar por c, es decir, f(c) es un mínimo relativo de f. En forma semejante, si f ´(c) = 0 y f´´(c) < 0, entonces f ´(c) decrece de valores positivos a valores

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