DERIVADAS

5.1 CONCEPTO Y DEFINICIÓN. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA

En esta sección es importante tener una idea del concepto fundamental de la derivada, al tiempo de reflexionar el importantísimo papel que ella juega en casi todas las áreas, tanto de las ciencias y la ingeniería como de las humanidades y sociales. El concepto primitivo de la derivada surge del hecho de que se trata de una simple división, claro que hablamos de una división que involucra una situación especial, esto es, se trata de una división entre cantidades que son infinitesimales (tan pequeñas como usted pueda imaginar), razón por la cual es necesario utilizar el cálculo de límites para poderla evaluar. En otras palabras, las cantidades involucradas en tal división son tan pequeñas que tienden a cero, pero nunca son cero en realidad, así que dicha división tiene que realizarse mediante el límite que ella alcanza cuando la variable independiente tiende a cero. Para aclarar esto supongamos que tenemos dos cantidades, X y Y, de tal forma que una de ellas, Y, depende de la otra, es decir se tiene Y(X), así decimos que Y es una función de X. ahora bien se quiere saber la proporción con la cual Y crece conforme el valor de X aumenta, para lo cual se realiza la división , sin embargo, la división anterior nos da la información requerida como un promedio en el intervalo de variación . Si quisiéramos tener la misma información pero no promedio, más bien tener un valor instantáneo de la razón de cambio de Y respecto a X, entonces tendremos que realizar la división para un intervalo infinitesimal, tendiente a cero, de manera que lo que tendremos que hacer es: , pues bien, se ha convenido llamar a esta información con el nombre de “derivada de Y respecto a X”. Esta expresión también tiene una interpretación geométrica que más adelante se comprenderá.

Dado que este trabajo no pretende aclara la parte teórica del cálculo diferencial, nos conformamos con la aclaración anterior. Si se pretende entender más a fondo los conceptos se tendrá que hacer uso de un texto formal en la materia.

Ejemplo: Estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 3x3 en el punto x0 = 2 por medio de los puntos x = 2.2 y x = 1.9, (He aquí la interpretación geométrica de la derivada).

SOLUCIÓN

f(2.2) = 3(2.2)3 = 31.94

f(1.9) = 3(1.9)3 = 20.57

La pendiente que pasa por los puntos (2.2, 31.94) y (1.9, 20.57) es 37.9. Esto aproxima a la pendiente de la recta tangente (que es exactamente 36).

EJERCICIOS

5.1.1 Estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto x0 por medio de los valores dados para x.

f(x) = x2, x0 = 3; x = 3.3 y x = 2.89

SOLUCIÓN

La pendiente de una recta está dada por

m =

f(3.3) = (3.3)2 = 10.89

f(2.89) = (2.89)2 = 8.3521; por tanto

m =

5.1.2 Hallar de f(x) = 3x3 – 2x.

SOLUCIÓN

=

...