Derivadas

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo desarrollaremos ejercicios abarcando los temas de de sucesiones teniendo en cuenta los tipos de sucesiones incluyendo sucesiones crecientes o decreciente, si es convergente o divergente, y si es monótona; y progresiones abarcando los dos tipos de progresiones aritmética y geométrica, y utilizando en ellos las formulas generales para hallar el n-eximo termino de una sucesión y para hallar la suma de cada termino de las sucesiones, también nos ayuda a reconocer si es una sucesión o una progresión teniendo en cuenta la secuencia de los números y así utilizar las formulas para resolver los ejercicios; en la realización de estos trabajos nos ayudó a cada uno de los integrantes a utilizar las formulas generales para así crear una nueva fórmula mucho más adecuada para hallar el resultado de las secuencias de números.

OBJETIVOS

Aprender a utilizar las sucesiones para hallar enésimos términos de una secuencia de números.

Reconocer las sucesiones crecientes y decrecientes; y monótonas.

Reconocer las sucesiones convergente y divergentes.

Utilizar las formulas generales de las sucesiones para hacer nuevas formulas y hallar secuencias de sucesiones.

Reconocer las progresiones aritméticas y geométricas.

Hallar la secuencia de una progresión usando las formulas generales de las progresiones.

Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:

〖1. U〗_n={n^2/(1+n)} n >3

Primero: como están dando la condición n >3 (n mayores que 3) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

n >3=4,5,6,7 y 8

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en sus cinco primeros términos:

U_n={n^2/(1+n)} n >3

n = 4 U_n={4^2/(1+4)}=16/5

n = 5 U_n={5^2/(1+5)}=25/6

n = 6 U_n={6^2/(1+6)}=36/7

n = 7 U_n={7^2/(1+7)}=49/8

n = 8 U_n={8^2/(1+8)}=64/9

2. U_n={1/(1-〖 n〗^2 )} n ≥2

Primero: como están dando la condición n ≥2(n mayores o iguales que 2) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

n ≥2=2,3,4,5 y 6

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en sus cinco primeros términos:

U_n={1/(1-〖 n〗^2 )} n ≥2

n = 2 U_n={1/(1-〖 (2)〗^2 )}= 1/(1-4)=1/(-3)

n = 3 U_n={1/(1-〖 (3)〗^2 )}= 1/(1-9)=1/(-8)

n = 4 U_n={1/(1-〖 (4)〗^2 )}= 1/(1-16)=1/(-15)

n = 5 U_n={1/(1-〖 (5)〗^2 )}= 1/(1-25)=1/(-24)

n = 6 U_n={1/(1-〖 (6)〗^2 )}= 1/(1-36)=1/(-35)

3. U_n={1/n^2 } n ≥1

Primero: como están dando la condición n ≥1(n mayores o iguales que 1) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

n ≥1=1,2,3,4 y 5

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en sus cinco primeros términos:

U_n={1/n^2 } n ≥1

n = 1 {1/1^2 }= 1/1

n = 2 {1/2^2 }= 1/4

n = 3 {1/3^2 }= 1/9

n = 4 {1/4^2 }= 1/16

n = 5 {1/5^2 }= 1/25

Halle los términos de las siguientes sucesiones y de termine si:

¿La sucesión es creciente o decreciente? ¿Por qué?

¿Es monótona o no? ¿Por qué?

〖2. U〗_n={n/(3n-1)} 1< n ≤6

Primero: como están dando la condición 1< n ≤6(n mayores que 1, y n menores o iguales que 6) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

1< n ≤6=2,3,4,5 y 6

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en los términos obtenidos según la condición 1< n ≤6:

U_n={n/(3n-1)}

n = 2 U_n={2/(3(2)-1)}= {2/(6-1)}= 2/5

n = 3 U_n={3/(3(3)-1)}= {3/(9-1)}= 3/8

n = 4 U_n={4/(3(4)-1)}= {4/(12-1)}= 4/11

n = 5 U_n={5/(3(5)-1)}= {5/(15-1)}= 5/14

n = 6 U_n={6/(3(6)-1)}= {6/(18-1)}= 6/17

〖3. U〗_n={(3n-1)/n} 1≤ n <5

Primero: como están dando la condición 1≤ n <5(n mayores o iguale que 1, y n menores que 5) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

1≤ n <5=1,2,3 y 4

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en los términos obtenidos según la condición 1≤ n <5:

U_n={(3n-1)/n}

n = 1 U_n={(3(1)-1)/1}=(3-1)/1=2/1=2

n = 2 U_n={(3(2)-1)/2}=(6-1)/2=5/2

n = 3 U_n={(3(3)-1)/3}=(9-1)/3=8/3

n = 4 U_n={(3(4)-1)/4}=(12-1)/4=11/4

〖4. U〗_n={(1+n )/n^2 } 1<n <7

Primero: como están dando la condición 1<n <7(n mayores que 1, y n menores que 7) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

1<n <7=2,3,4,5 y 6

Segundo: Remplazamos los valores que toma n en los términos obtenidos según la condición 1<n <7 :

U_n={(1+n )/n^2 }

n = 2 {(1+2 )/2^2 }= 3/4

n = 3 {(1+3 )/3^2 }= 4/9

n = 4 {(1+4 )/4^2 }= 5/16

n = 5 {(1+5 )/5^2 }= 6/25

n = 6 {(1+6 )/6^2 }= 7/36

5. [(n^2- 1 )/(n-2 )] n >4

PRIMERO: hallamos la cota inferior, sabiendo que el primer término de la sucesión es 5.

[(5^2- 1 )/(5-2 )]=[(25- 1 )/(5-2 )]= 24/3=8

Tenemos que la cota inferior es igual a 8.

SEGUNDO: hallamos el límite de la sucesión cuando n tiende al infinito, para saber si la sucesión es divergente y tiene cota superior.

lim┬(n→∞)⁡〖(n^2- 1 )/(n-2 )〗= (n^2/n^2 - 1/n^2 )/(n/n^2 – 2/n^2 )= (1- 0 )/(0-0 )= (1 )/(0 )

Tenemos que la sucesión no tiene cota superior puesto que su límite no existe, y por tal razón es divergente.

FASE 2

6. Un=[(3n^2- 1 )/(3n-6n^2 )] ≥1

PRIMERO: hallamos la cota inferior, sabiendo que el primer término de la sucesión es 1.

Un=[(3n^2- 1 )/(3n-6n^2 )]=[(3- 1 )/(3-6)]= (2 )/(-3)= -0,66

Tenemos que la cota inferior es igual a -0,66

SEGUNDO: hallamos el límite de la sucesión cuando n tiende al infinito, para saber si la sucesión es divergente y tiene cota superior.

lim┬(n→∞) (3n^2- 1 )/(3n-6n^2 )=((3n^2)/n^2 - 1/n^2 )/(3n/n^2 -(6n^2)/n^2 ) = -0,5

Tenemos que la sucesión tiene cota superior igual a -0,5 y que es convergente.

〖7. U〗_n={(3n^2-1 )/n^2 } 1≤n <5

Primero: como están dando la condición 1≤n <5(n mayores o iguales a 1, pero a su vez n menores que 5) debemos definir que números entran en dicha condición y tenemos que:

1≤n <5=1,2,3 y 4

Segundo: Hallamos la cota inferior, sabiendo que el primer termino es 1.

〖 U〗_n={(3n^2-1 )/n^2 }

〖 U〗_1={(3〖(1)〗^2-1 )/1^2 } = (3-1)/1=2

Tercero: Hallamos la cota superior sabiendo que el ultimo termino es 4.

〖 U〗_1={(3〖(4)〗^2-1 )/4^2 } = (48-1 )/16=2,93

La sucesión es creciente porque cada término es menor que el siguiente, es decir los términos van aumentando su valor en la medida que n también aumenta.

Como es una sucesión que solo crece, a medida que n lo hace se dice que es monótona porque la monotonía hace referencia al aumento o disminución de una secuencia, para este caso tenemos aumento.

Esta acotada inferiormente en N=2, su cota superior es 2,93 y es convergente.

FASE 3

8. Un embalse tiene el primer día del mes septiembre 200000 litros de

Agua y recibe durante el mes, todos los días 3.000 litros de agua.

¿Cuántos litros de agua tendrá el día 20?

PRIMERO: Extraemos los datos importantes y la pregunta del problema.

Día 1 = 200000 litros

Diferencia de agua recibida por días = 3000 litros

Día 20 = ?

Número de días solicitado según pregunta = 20 días

SEGUNDO: Aplicamos la formula general de las sucesiones aritméticas, la cual es:

an = a1 + (n – 1).d

an = Termino enésimo Día 20 = ?

a1= Primer término Día 1 = 200000 litros

n = # de términos Número de días solicitado según pregunta = 20 días

d = Diferencia Diferencia de agua recibida por días = 3000 litros

TERCERO: Remplazamos los valores y damos solución a la pregunta del problema.

an = a1 + (n – 1).d

an = 200000 + (20 – 1). (3000)

an = 200000 + (19). (3000)

an = 200000 + 57000

an = 257000

RESPUESTA: Para el día 20 el embalse tendrá 257.000 litros de agua.

9. Una empresa le ofrece en alquiler a un ingeniero contratista

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