Distribicion Normal

Estrategia didáctica 3.3.2.1. La Distribución Normal

En este texto solo estudiaremos la distribución normal por ser la distribución con una mayor gama de aplicaciones y usos. Como ya se vio en el boletín anterior, la curva normal tiene la siguiente forma:

En la gráfica anterior se puede observar que el rango de valores que tomó la variable continua es de aproximadamente 0 hasta 40. La distribución es simétrica alrededor de 20, que también es el valor de la media y los extremos de la curva se les llama colas de la distribución. Las colas no tocan el eje horizontal como podría verse en la gráfica, sino que se acercan asintóticamente a dicho eje cuando la curva tiende a tomar valores cada vez más alejados de la media.

Esta función matemática se le llama función de densidad y tiene la siguiente expresión:

Donde x es la variable aleatoria, σ es la desviación estándar y μ es la media poblacional. Aunque la expresión parece bastante complicada, en realidad se debe hacer notar que la gráfica se obtuvo sustituyendo el valor de la media y de la desviación estándar conocidas de una población en la función de densidad. Por ejemplo, en la gráfica que se dibujó la distribución considerando que σ = 5 y μ = 20. Sustituyendo estos valores en la fórmula, se procedió a graficar la siguiente función:

Lo que significa que la variable x tiene una media de 20 y una desviación estándar de 5. De hecho puede observarse que la media de la distribución ha sido localizada en la gráfica y también debe remarcarse que la gráfica es simétrica en ese punto.

Dibujemos, por ejemplo otra gráfica normal, en la que σ = 7 y μ = 20:

Observemos que el rango de la distribución es un poco mayor al rango de la primer distribución y además esta última distribución está más “achatada”. Comparemos ambas distribuciones para que se vea la importancia de conocer los valores de la media y de la desviación estándar.

Notemos que aunque las dos distribuciones normales tienen la misma media, su desviación estándar cambia. Estos valores, por lo tanto, le dan la forma a la curva normal. Y con esto completamos el comentario inicial en el boletín 0. Allí decíamos que para hacer predicciones de una variable aleatoria continua, debemos conocer su distribución, su media y su desviación estándar. Puede verse que cuando una variable aleatoria continua es normal y se conoce su media y su desviación estándar (ambos valores los llamaremos conjuntamente parámetros), entonces se puede realizar su gráfica. Desde luego que todavía no hacemos predicciones con ella como las hacíamos en las variables aleatorias discretas, pero estamos, como se verá en el siguiente boletín, muy cerca de hacerlo.

Debemos anotar, porque es muy importante aclararlo, que si sabemos que el peso de un bebé es normal, entonces para realizar la gráfica del peso de los bebés con la función de densidad, es necesario conocer la media y la desviación estándar del peso de los bebés. Estos datos sólo pueden conocerse de manera práctica cuando se realizan muestras o se llevan estudios para calcular estos dos parámetros a partir de la población de interés tal y como se señaló en el boletín 0. Por ejemplo, supongamos que en cierto hospital de Iztapalapa, las mujeres embarazadas y próximas a dar a luz, aseguradas, que viven en la colonia Ejército de Oriente, con nivel de vida medio bajo, etcétera, el personal del hospital lleva historial de cada mujer que ha dado a luz, luego se ha pesado al bebé y se ha encontrado que el peso medio es de 2.4 kilogramos con una desviación de 0.5 kilogramos. Si se sabe que el peso es normal (y ya vimos cómo podemos garantizar esto), entonces la distribución normal de los pesos de los bebés al nacer está descrito por la siguiente gráfica:

La gráfica anterior es la distribución normal de los pesos de los bebés al nacer con peso medio de 2.4 kg y desviación estándar de 0.5 kg, (en la población respectiva). Por lo tanto debemos concluir que para realizar la gráfica de una variable continua, debemos saber si es normal y conocer también su media y su desviación estándar que generalmente se calculan de manera empírica realizando mediciones en la población de interés.

Una nota: En todos los problemas que seguirán a continuación, para simplificar la explicación dada, se debe sobre entender que la población a la que se refiere una variable continua que sea normal, está claramente especificada. En cualquier caso, de ser necesario, se especificará la población en cuestión.

Antes debemos ver una última propiedad de la curva normal. Recordemos que una distribución discreta tenía la característica de que la suma de las probabilidades de todos los valores de la variable era 1. Como esperamos análogamente que la distribución de una variable continua normal también describa las probabilidades de que ella ocurra, entonces de manera semejante consideraremos que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de una variable continua deberá valer 1. Por ejemplo, si el peso de un bebé al nacer es una variable normal, tiene una media de 2.5 kilogramos y una desviación estándar de 0.5 kilogramos, entonces si sumamos todas las probabilidades de que un bebé pese al nacer en el rango conocido de pesos, la suma deberá ser 1. Pero, ¿cuál es el rango conocido de pesos de un bebé en la población de interés?

En una variable continua, la manera de calcular probabilidades (por ejemplo, ¿cómo calcular la probabilidad de que un bebé pese al nacer entre 2 y 3 kilogramos? Tendríamos que calcular las probabilidades de cada peso posible de un bebé entre los valores 2 y 3 y sumarlos, ¡lo que sería una tarea imposible!), consiste de una manera más práctica en sumar áreas. Así, la probabilidad de que un bebé pese al nacer entre 2 y 3 kilogramos equivale a calcular el área entre 2 y 3 bajo la curva normal. Es decir

Probabilidad (el peso de un bebé esté entre 2 y 3 kg.) = Área bajo la curva entre 2 y 3.

Lo que si escribimos de manera un poco más matemática será:

Donde x es la variable “peso de un bebé al nacer”

Aunque el problema de calcular probabilidades parece resuelto, en realidad, si lo pensamos un poco

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