ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.

Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.

Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como,

x = f(t) y = g(t)

Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación Cartesiana, sin embargo esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea función del tiempo t.

La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)).

Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana.

Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.

Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito.

En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico.

Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho existen varios métodos para hacer esto.

Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la variable paramétrica ‘t’.

Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una ecuación Cartesiana en términos de x e y.

Sin embargo la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica que definitivamente no pueda ser resuelta.

Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en este escenario.

Asimismo existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función dada, esto se entenderá con más práctica.

Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados.

p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0 <= t <= 2

La función dada implica funciones trigonométricas así que tratemos de hacer uso de las identidades trigonométricas para reducirla. p/ 5 = cos (t) q/ 3 = sin (t)

p2/ 25 = cos2 (t) q2/ 9 = sin2 (t)

Podemos hacer uso de la identidad sin2 (t) + cos2 (t) = 1. Entonces, sume las dos ecuaciones para producir una ecuación única como,

p2/ 25 + q2/ 9 = 25cos2 (t)/ 25 + 9sin2 (t)/ 9

p2/ 25 + q2/ 9 = 1

La ecuación reducida es una ecuación Cartesiana que puede ser graficada mediante la elaboración de una tabla que represente los valores de entrada y salida de la función como, p q 5 0 0 2 -5 0 0 −2

El gráfico de la función sería:

EJEMPLOS:

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una

...