Curvas Y Ecuaciones Parametricas

Índice

2.1 Ecuaciones Paramétricas de la Línea Recta 3

2.2 Curvas Planas 4

2.3 Ecuaciones Paramétricas de algunas Curvas y su Representación Gráfica 6

2.4 Derivada de una Función Paramétricamente 8

2.5 Coordenadas Polares 9

2.6 Graficacion de Curvas Planas en Coordenadas Polares 10

Bibliografía 21

2.1 Ecuaciones Paramétricas de la Línea Recta

La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros. Por tanto, una ecuación paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica. Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t denota el parámetro y la ecuación se conoce como ecuación paramétrica en términos de t.

Si así consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuaciones paramétricas de línea recta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuación. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.

Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación paramétrica para una recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que −1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t

Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t.

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1) son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación paramétrica en el campo del cálculo vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el concepto del cálculo de la ecuación paramétrica.

Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2).

Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t.

La principal diferencia entre la ecuación paramétrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramétrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

Consideremos la recta L que pasa por Q. Esta recta es paralela al vector (v ) ⃗=(PQ) ⃗, por lo tanto, dado un punto R=(x,y,z)∈L, se debe cumplir que:

(PR) ⃗=tv,osea R-P=t(v ) ⃗;t∈R

(x,y,z)=P+tv ⃗

De donde:

Definición

Si L es una recta que pasa por los puntos P=(p1,p2,p3),Q=(q1,q2,q3), y si ponemos (v ) ⃗=Q-P entonces la ecuación

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