“Por una patria con sabiduría y espíritu de progreso” “Curvas en y ecuaciones paramétricas”[

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE LOS CABOS

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“Por una patria con sabiduría y espíritu de progreso”

 “Curvas en  y ecuaciones paramétricas”[pic 2]

Libro

PRESENTA:

Ángulo Obeso Nedel

DOCENTE:

Ing. Omar Martinez Cano

San José del Cabo, B.C.S. a 16 de diciembre de 2016        

Contenido

Introducción        3

Ecuaciones paramétricas y curvas        4

Curvas planas        5

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación        7

Derivada de funciones paramétricas        9

Aplicaciones de la derivada en curvas        11

Coordenadas Polares        14

Gráficas Polares        17

Conclusión        18

Bibliografía        19

Introducción

        Muchos problemas de la vida real, y más específicamente del ámbito de la física requieren ser expresadas mediante no sólo una posición espacial, si no también deben cumplir una función en el tiempo. Tal es el ejemplo más sencillo de un proyectil que se arroja sobre la superficie del planeta; para describir la totalidad de su trayectoria, no basta sólo conocer su posición, si no la posición en qué tiempo.

        Los primeros en llegar a estudiar curvas paramétricas fueron Kepler, Galileo y Newton, afrontando los problemas de la cinemática de los cuerpos celestes, tuvieron que recurrir a un tercer elemento: el tiempo, que les permitió deducir  las ecuaciones paramétricas de los movimientos en los planetas, y más tarde de cualquier objeto.

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Ecuaciones paramétricas y curvas

        Comúnmente se sabe que se puede describir la posición de cualquier objeto mediante coordenadas rectangulares o polares. Pero resulta imposible describir un objeto que presenta variaciones en el tiempo, de acuerdo a su posición. Para ello se debe establecer ecuaciones paramétricas. Donde para cada coordenada en x habrá una función dependiente del tiempo y para cada coordenada en y habrá otra función del tiempo. Así entonces la posición será descrita por el parámetro t.

Al graficar ese conjunto de puntos definidos por la ecuación paramétrica se obtiene una gráfica llamada curva.  Tanto x como  y se llaman ecuaciones paramétricas, t es el parámetro y la gráfica que forman se llama curva plana. Y puede también ser expresada como una función vectorial:

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Curvas planas

        Se presentó ya la definición de una curva plana en la página anterior, a continuación se indicará cómo es que se grafican estás curvas mediante ejemplos:[pic 9]

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Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación

Ahora se verá cómo se puede parametrizar una función para obtener las ecuaciones paramétricas y así llegar a la curva como en las páginas anteriores. Pero antes de eso se inicia con el método para eliminar el parámetro de un par de ecuaciones paramétricas. Dicho método se ilustra muy fácil:

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El problema contrario es llegar a ecuaciones paramétricas a partir de una función. Esto se logra a partir de un parámetro dado, pero si no lo dan, lo más conveniente es hacer .[pic 65]

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Derivada de funciones paramétricas

Ahora que se sabe que es una ecuación paramétricas, las curvas y como transformarlas, es de mucha utilidad y es casi indispensable saber cómo derivar estas ecuaciones. Porque como se mencionó en los problemas de cinemática, por definición al derivar la posición se obtiene la velocidad, y al derivar la velocidad se obtiene la aceleración. Si conocemos entonces la función que representa la posición de una partícula, podemos mediante el cálculo obtener velocidades y aceleraciones.

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