EJEMPLOS DE DISTRIB. HIPERGEOMETRICA

La distribución Hipergeométrica

Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último. Veámoslo:

• Partimos de un conjunto formado por N individuos divididos en dos categorías mutuamente excluyentes: A y Ac; de manera que N1 individuos pertenecen a la categoría A yN2 individuos, a la categoría Ac. Por tanto, se cumple que

N = N1 + N2

• Si del conjunto anterior extraemos n individuos sin reemplazamiento (n ≤ N), la variable X que representa el número k de individuos que pertenecen a la categoría A (de los nextraídos) tiene por función de densidad:

La dependencia se debe al hecho de que N es finito y las extracciones se efectúan sin reemplazamiento. El caso de extracciones con reemplazamiento sería equivalente al de N infinito y se resolvería mediante el modelo Binomial.

El programa siguiente nos muestra la forma de la función de densidad de esta variable y el valor de la función de densidad y de la función de distribución en el punto que elijamos:

Propiedades:

1) Esperanza: E(X) = n N1 / N 2.

2) Varianza: V(X) = (n N1 N2 (N-n)) / (N2 (N-1) )

Propiedades del modelo Hipergeométrico

1) Esperanza: E(X) = n ´ N1/N

2) Varianza: V(X) = (n ´ N1 ´ N2 (N − n))/(N2 ´ (N − 1))

Distribución hipergeométrica

Distribución hipergeométrica

Parámetros

Dominio

Función de probabilidad(fp)

Media

Moda

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Función generadora de momentos(mgf)

Función característica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientoscombinatorios y es igual a

donde es el tamaño de población, es el tamaño de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo:

En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

Solución:

Luego;

donde:

p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral

Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución:

N = 10 objetos en total

a = 3 objetos defectuosos

n = 4 objetos seleccionados en muestra

x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

donde:

probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes

formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos

Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:

Ejemplos:

1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas

x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas

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