EL NUEVO PROGRAMA DE INGENIERÍA EN PROCESOS INDUSTRIALES

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA EN PROCESOS INDUSTRIALES

NUCLEO EXPERIMENTAL ARMANDO MENDOZA

CAGUA, ESTADO ARAGUA

ALGEBRA BOOLEANA Y PROBABILIDAD

Guía general del Tema 4. Parte 2. Aleatoriedad. Espacio muestral y eventos. Definición de probabilidad y sus axiomas. Probabilidad empírica, subjetiva y clásica. Teoremas elementales de probabilidad. Probabilidad condicionada, diagramas de árbol y teorema de Bayes. Probabilidad conjunta y marginal. Independencia de eventos. Esperanza matemática y toma de decisiones.

¡Lo probable es lo que ocurre diariamente!. Aristóteles.

En la clase pasada analizamos los propósitos generales del investigador cuando tiene una serie de datos, y se describieron de forma general como analizar los resultados de un “experimento aleatorio”. Debe haber quedado claro que la estadística trata básicamente con la presentación e interpretación de resultados fortuitos que ocurren en un estudio planeado o en una investigación científica. Dichos datos son denominados con el término “observación (X)” el cual es cualquier registro de información, ya sea numérico o categórico.

Ahora bien, si lo que se desea es utilizar la información obtenida para realizar conclusiones generales sobre aquellos objetos que fueron estudiados, entonces esos métodos constituyen el inicio del análisis. Por ello debe recurrirse a la inferencia estadística, la cual trae como consecuencia usar los preceptos básicos de la teoría de probabilidad.

Una  teoría matemática poco conocida: “La Ley de Benford”.

La Ley de Benford, llamada de esta manera en honor a quien la descubrió, un físico que trabajaba en la empresa “General Electric®”, es una de las teorías matemáticas más curiosas, en principio porque parece referirse a una especie de orden en medio de la aleatoriedad matemática pero también por su aparición en la naturaleza. Dicha ley se refiere específicamente a “cómo los humanos usamos los números en la práctica a partir de conjuntos procedentes de la naturaleza".

La ley establece que si se analiza cualquier conjunto numérico, serán mucho más frecuentes aquellos cuyo primer dígito sea un 1. Esto es así y a tal punto que de acuerdo a varios estudios, el 30% de los números comienzan con 1. A partir de allí, el porcentaje disminuye gradualmente: 17,6% para el número 2, 12,5% para el 3, hasta llegar al 9, con sólo un 4,6%.

Mediante la Ley de Benford se han estudiado y predicho terremotos, el brillo de los rayos gama (detectados por el telescopio Fermi), la rotación de los púlsares (es una clase especial de estrella variable) y 987 enfermedades infecciosas reportadas a la Organización Mundial de la Salud en el año 2007. La ley es tan curiosa que cuando un investigador australiano presentó los resultados, en un evento de geografía, algunos asistentes comenzaron a reír pensando que se trataba de una broma.

Pero si piensan que la Ley de Benford puede no ser más que una curiosidad de la matemática, están muy equivocados, ya que mediante el uso de esta ley se predijo un terremoto. El equipo estaba analizando los datos sísmicos de la región australiana y si bien en general coincidían, eran distintos a los analizados en otras zonas. Comenzaron a ver los datos con más detalles y descubrieron que se estaba produciendo en ese mismo momento un terremoto que, si lo incorporaban a los datos, resolvía todas las discrepancias. En palabas de Theodore Hill, matemático norteamericano que colaboró en la investigación: “es la primera vez que se descubre un fenómeno físico utilizando la Ley de Benford”.

Fenómenos naturales como los terremotos son prácticamente imposibles de predecir. ¿Quién se hubiera imaginado que podríamos estar ante uno de los primeros métodos de predicción con la curiosa ley matemática que simplemente establece que el número 1 es el más popular?.

Todos los días nos hacemos preguntas relacionada con probabilidad e incluso los que poco saben de matemática tienen una idea intuitiva de su definición. Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que apruebe algebra booleana con 10 o más?. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva el fin de semana para ir a la playa?. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla incandescente dure más de 1000 horas?. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5, 6 o 10 productos defectuosos al analizar 100 productos de una línea de producción?.

Mediante el análisis de probabilidades se establecen las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, siendo estas las bases para estudiar la estadística inductiva o inferencial.

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En estadística nos interesan, en particular, las observaciones que se obtienen al repetir varias veces un experimento. En la mayoría de los casos los resultados dependerán del azar, por lo tanto, no se pueden predecir con certeza.

Aun cuando lancemos una moneda al aire repetidas veces, no podemos tener la certeza de que en un lanzamiento determinado obtendremos cara como resultado. Sin embargo, conocemos el conjunto completo de posibilidades para cada lanzamiento. Dicho conjunto se denomina espacio muestral, y se define de la siguiente manera:

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota con la letra S.

El espacio muestral:

Es fundamental del proceso de utilizar los fenómenos aleatorios.

Es un descriptor importante del resultado de un experimento aleatorio.

Da las bases para medir las probabilidades de los sucesos.

A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos, podemos listar los miembros separados por comas y encerrarlos entre llaves.

Desarrolle el siguiente ejemplo: Suponga que se seleccionan, de forma aleatoria, tres artículos de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N. Obtenga todos los posibles resultados de dicho experimento aleatorio.

En cualquier experimento dado, podríamos estar interesados en la ocurrencia de ciertos eventos, más que en la ocurrencia de un elemento específico en el espacio muestral. Esto quiere decir que queremos entonces estudiar un subconjunto del espacio muestral.

Un evento, suceso aleatorio o acontecimiento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Ello quiere decir que es un resultado concreto. Se denotan como A, B, C, …

Para cada evento asignamos un conjunto de puntos muestrales, que constituye un subconjunto del espacio muestral. Este subconjunto representa la totalidad de los elementos para los que el evento es cierto.

Realicemos el experimento de lanzar tres monedas al aire y analicemos los resultados de los sucesos de obtener exactamente dos caras?

Determine los sucesos aleatorios en los cuales salgan exactamente dos caras.

A= ⎨C, C, S⎬; B= ⎨C, S, C⎬; C= ⎨S, C, C⎬.

Determine los sucesos aleatorios en los cuales salgan exactamente dos sellos.

M= ⎨C, S, S⎬; D= ⎨S, S, C⎬; E= ⎨S, S, C⎬.

Ejercicio: Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado perfecto de 6 caras. Determine S e indique los eventos, o eventos aleatorios, de obtener un número par, un número impar, un número mayor de 3 y un número mayor o igual a 3.

Uno de los problemas que el estadístico debe considerar e intentar evaluar es el elemento de aleatoriedad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se realiza un experimento. En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral, sin listar realmente cada elemento.

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