ESTADISTICA

Tabla de contenido

Superficies de Respuesta 2

1. Modelo: 2

1.1. Estrategias del modelo de superficies de respuesta. 3

Modelo matemático 5

2. Ejemplo: 5

• Aproximación lineal a las condiciones óptimas: 6

• Aproximación del camino de la máxima pendiente 8

3. Conclusiones: 10

Bibliografía: 11

Superficies de Respuesta

Uno de los deseos más fuertes que a lo largo de la historia ha mostrado la humanidad es el de modelar la realidad, es decir, el de encontrar funciones matemáticas que expliquen los distintos fenómenos de índole física, social, económica. etc. Este deseo de encontrar modelos responde principalmente a las dos aplicaciones más inmediatas que se pueden derivar de ellos, como puede ser La capacidad de predecir o explicar el valor de cierta respuesta una vez conocidos los valores de ciertas variables o el hecho de poder seleccionar aquellas condiciones de los factores que permitan optimizar la respuesta. En la práctica, es muy difícil intentar resolver este problema de buscar un modelo único; en su lugar, se intenta aproximar tales relaciones de forma local a través de funciones polinómicas de primer y segundo orden. Además, el análisis de estas aproximaciones permitirá localizar la región óptima de una manera secuencial.

La Metodología de Superficies de Respuesta (RSM) pretende localizar las condiciones óptimas de operación del proceso, de tal manera que RSM plantea un reto mucho más fuerte para el investigador y requiere de una estrategia más completa, que incluye la posibilidad de efectuar varios experimentos secuenciales y el uso de técnicas matemáticas más avanzadas.

Modelo:

Cuando decimos que el valor real esperado η que toma la variable de interés considerada está influido por los niveles de k factores cuantitativos, X_1,X_2,...,X_k, esto significa que existe alguna función de X_1,X_2,...,X_k, que proporciona el correspondiente valor de η para alguna combinación dada de niveles:

η= f (X_1,X_2,...,X_k)

De tal forma que la variable respuesta puede expresarse como:

Y=η+ε= f (X_1,X_2,...,X_k )+ε

Donde ε es el error observado en la respuesta.

La relación existente entre η= f (X_1,X_2,...,X_k) y los niveles de los k factores puede representarse a través de una hipersuperficie a la que llamaremos superficie de respuesta.

Una técnica utilizada para ayudar a visualizar la forma que puede tener una superficie de respuesta tridimensional consiste en representar la gráfica de contornos de la superficie o curvas de nivel, que permitirá encontrar la región o regiones de interés.

La figura 1 refleja la utilidad del uso de aproximaciones locales para abordar la relación teórica de la respuesta. En esta figura se ha representado con curvas de nivel, una supuesta relación entre cierta característica y dos factores, un amplio rango de variación. Aunque la mejor función que expresa tal relación en toda la región es una función complicada, en la región R1 podría aproximarse dicha relación mediante un modelo lineal, ya que el incremento de la respuesta parece ser lineal en tal región. Sin embargo, en la zona R2 cercana al máximo, la superficie ya presenta evidencia de curvatura y, por lo tanto, la aproximación local se ha de hacer con modelos que incluyan términos cuadráticos. En la práctica, generalmente nunca se obtendrá "el modelo" que rige la relación existente para cualquier combinación de los factores, sino que se obtendrán aproximaciones locales a tal modelo en diferentes regiones de los factores.

Para la implementación exitosa de la metodología de Superficies de Respuesta, se aconseja tener muy en cuenta los siguientes aspectos:

1. La implementación debería estar enmarcada dentro de un proyecto de mejoramiento acorde con los objetivos estratégicos de la compañía, de tal manera que se cuente con el apoyo total en aspectos económicos y administrativos; puesto que el proyecto en sí es una inversión que en su etapa inicial demandará recursos de la compañía.

2. Se deben tener claramente cuantificados en términos de indicadores de gestión y de indicadores financieros, los beneficios que se espera obtener como resultado de la implementación.

3. Su aplicación será más efectiva en procesos con nivel de calidad 2.8σ o superior.

4. Su aplicación requiere que tanto la característica de calidad como los factores sean de tipo cuantitativo.

5. Se debe tener un alto grado de confiabilidad en los datos recolectados del proceso, se recomienda verificar previamente el comportamiento de los sistemas (instrumentos) de medición, aplicando en lo posible metodología estadística para evaluar su estabilidad y determinar el grado de incertidumbre.

6. Se debe contar con amplio conocimiento técnico sobre el proceso a optimizar, experiencia sobre sus variables de entrada, variables de salida, causas probables de variación y en general factores que pueden afectar el resultado de las salidas o características de calidad.

7. Se debe contar con conocimientos básicos en inferencia estadística, muestreo, modelos de regresión y planeamiento de experimentos; estos conocimientos previos se pueden adquirir con aproximadamente 100 horas de capacitación.

Estrategias del modelo de superficies de respuesta.

La metodología de superficie de respuesta contiene toda una serie de estrategias que el investigador puede seguir para estimar el modelo que relaciona la respuesta de interés con factores lo más adecuadamente posible, mejorando significativamente su resultado en cuanto a costos, tiempos, eficiencia, productividad, cumplimiento de especificaciones y en fin, mejorar su calidad de experimentación. El investigador actúa como un detective buscando las pistas que le lleven a la resolución del problema. Tales pistas son obtenidas a través de la información que proporciona la experimentación secuencial.

Al comienzo de la experimentación se puede conocer poco del problema y en tal caso es razonable suponer

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