Ecuación exponencial

Ecuación exponencial

Ecuación exponencial

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.1 La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, comúnmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

Índice

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• 1 Formas de resolución

o 1.1 Igualación de bases

o 1.2 Cambio de variables

o 1.3 Pasando a una algebraica

o 1.4 Usando logaritmos

 1.4.1 Otra manera de resolver

o 1.5 Ecuaciones exponenciales más complejas

• 2 Otras aplicaciones de las ecuaciones exponenciales

o 2.1 El interés compuesto

o 2.2 Función exponencial

• 3 Véase también

• 4 Referencias

Formas de resolución[editar]

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Igualación de bases[editar]

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de .

Luego, por la siguiente propiedad: , tenemos:

• Un ejemplo algo variado

42x-1 = 2x

Puesto que 4 = 22 en la ecuación dada resulta

22(2x-1) = 2x

Finamente, resolviendo 2(2x-1) = x, se obtiene x = 2/3.

Cambio de variables[editar]

Artículo principal: Cambio de variable

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

Vamos a escribirla así:

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

Ahora, al reemplazar, se tiene:

Despejamos :

Ahora, recordemos que , luego:

Pasando a una algebraica[editar]

Resolver la ecuación2

2•9x - 3x+1 -2 = 0

Puesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la forma

2•(3x)2 - 3•3x - 2 = 0

Luego con la sustitución y = 3x, se tiene respecto a y la ecuación algebraica de segundo grado

2y2 - 3y -2 = 0.

Resolviendo resulta y = 2; y = -1/2. La última solución es imposible, pues 3x > 0. En tal caso 3x = 2;

x = log32 = ln2 : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

Usando logaritmos[editar]

Artículo principal: Logaritmo binario

Sea la ecuación:

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

Operando:

De donde sale:

Otra manera de resolver[editar]

Sea la ecuación 4x+1•8x = 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como también 4096 = 212 , se tiene

22x+2•23x = 212 , igualando los exponentes, resulta

(2x +2) + 3x = 12, finalmente

5x = 10; por tanto x = 2.

Ecuaciones exponenciales más complejas[editar]

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

Aplicamos el método de igualación de bases:

O sea:

Operando, obtenemos:

Otras aplicaciones de las ecuaciones exponenciales[editar]

Veamos esta ecuación:

Vemos que se trata de una progresión geométrica.

...