Ejercicios De Columnas Esbeltas

Problema 1 Diseñe una columna de 20’ de alto para que resista una carga muerta sin factorar de 90 k y una carga viva sin factorar de 75 k. Las cargas actúan con una excentricidad de 3’’ en la parte superior y 2’’ en la parte inferior, como se muestra en la figura.

Usar f’c = 3000PSI y fy = 60,000 PSI.

1.- Calculo de las cargas factoradas, Momentos y (M_1 b)/(M_2 b)

Por definición M_2 b es el momento más grande en la columna. Por lo tanto

y

El radio = + ya que la columna es flexada en corvatura simple (fig. a,b,c), así

2.- Estimado del tamaño de la columna.

Asumiendo .

Asumiendo una columna cuadrada, usamos

3.- Esbeltez de la columna.

La columna es corta si

k =1 (articulada)

la columna es muy esbelta.

Por lo que la sección anteriormente seleccionada es inadecuada, probaremos con una sección de 15” x 15”

4.- Chequeo si los momentos son menores que el mínimo.

Una columna arriostrada se diseña para una excentricidad mínima:

; entonces se diseña con los momentos ya calculados.

5.- Calcule EI

O bien como

Usaremos

6. Calculo del momento magnificado

Ya que la columna es articulada, , El ACI sec.10.11.5.1 da para marcos

arriostrados. Así sólo el primer término necesita ser evaluado.

=1 para columnas con extremos articulados

7. Selección del refuerzo en la columna.

Los diagramas de interacción para la columna de 15” x 15” in con 4#5 , 4#6 ,y 4#7, Se dan en la figura siguiente (diagramas obtenidos de ETABS y exportados e EXCEL):

El refuerzo en la columna debe ser diseñado para resistir y . El diagrama de interacción muestra que 4#8 serán suficientes. Esto da un % de acero Ok.

Problema 2: La figura muestra una parte de un marco típico de un edificio industrial .Los marcos van espaciados 20’ cada uno .Las columnas se apoyan en un zapata de 4´ cuadradas. La capacidad soporte del suelo es de 4000 psf.

Diseñe las columnas CD y DE. Use f_c´=3000 psi y f_y=60000 psi para vigas y columnas.

Determinar las cargas en las columnas por medio de un análisis estructural.

Columna CD Columna DE

Cargas de servicio P Muerta=80 k

Viva=24 k Muerta=50 k

Viva=14 k

Momento de servicio, parte superior de la columna M_CM=-60 k.ft

M_CV=-14 k.ft

M_CM=42.4 k.ft

M_CV=11.0 k.ft

Momento de servicio , parte inferior de la columna M_CM=-21.0 k.ft

M_CV=-8.0 k.ft M_CM=-32.0 k.ft

M_CV=-8.0 k.ft

Los momentos en el sentido de las agujas del reloj son positivos, las cargas de viento son resistidas por la pared del edificio.

Cargas factoradas:

Para la columna CD :

P_u=1.2×80 +1.6×24=134.4 k

M_↑=1.2×(-60)+1.6×(-14)=-94.4 k.ft

M_↓=1.2×(-21)+1.6×(-8)=-38.0 k.ft

M_2b es siempre positivo y M_1b es positivo si la columna es flexada en curvatura simple, pero como la columna CD es flexada en curvatura doble, M_1b es negativo.

Para diseño de una columna esbelta M_2b=+94.4 k.ft y M_1b=-38 k.ft.

Columna DE

P_u=1.2×50 +1.6×14=82.4 k

M_↑=1.2×(42.4)+1.6×(11)=68.48 k.ft

M_↓=1.2×(-32)+1.6×(-8)=-51.2 k.ft

M_1b es positivo ya que la columna es flexada en curvatura simple.

M_2b=+68.48 k.ft y M_1b=+51.2k.ft,

Ya que todas las cargas de viento son resistidas por la pared, M_2s=0 , no se requiere considerar otra combinación de carga.

Selección preliminar del tamaño de la columna

ρ_t=0.015

A_g (prueba)≥P_U/0.45(f_c´+f_y ρ_t ) =134.4/0.45(3+60×0.015) =76.6 〖in〗^2

Es decir, una sección cuadrada de 8.75in cada lado, entonces probar con una columna de 14” x 14”.

Determinación de la esbeltez de la columna.

Una columna en un marco arriostrado es corta si (kl_u)/r<34-12M_1b/M_2b

columna CD:

l_u=20´-2´=18´

l_u=216´´

r=0.3×14=4.2´´

,

De la tabla anterior, k=0.77.

(kl_u)/r=(0.77×216)/4.2=39.6

34-12 M_1b/M_2b =34-12((-38.0)/94.4)=38.83

La columna CD es esbelta.

Columna DE

l_u=24´-2´=264´´

r=0.3×14=4.2´´

De la tabla, K=0.86

(kl_u)/r=(0.86×264)/4.2=54.1

34-12 M_1b/M_2b =34-12(51.2/68.48)=25.02

La columna DE también es esbelta

Chequeo si los momentos son menores que los mínimos.

e_min=0.6+0.03h=0.6+0.03(14)=1.02´´

P_u e_min (CD)=134.4×1.02/12=11.42 k.ft

P_u e_min (DE)=82.4×1.02/12=7.00 k.ft

Calcule EI

EI=((E_c I_g)/2.5)/(1+β_d ) ∴

E_c=57000√(f_c´)=57000√3000= 3.12×〖10〗^6Psi

I_g= 1/12 bh^3=〖14〗^4/12=3201 〖in〗^4

(E_c I_g)/2.5=(3.12×〖10〗^6 x 3201 )/2.5 4×〖10〗^9 lb.〖in〗^2

Columna CD:

βd=(Fact. DL )/(Fact. TDL)

β_d=(1.2×80)/134.4=0.714

EI=(4×〖10〗^9)/(1+0.714)=2.33×〖10〗^9 lb.〖in〗^2

Columna DE:

β_d=(1.2×50)/82.4=0.728

EI=(4×〖10〗^9)/(1+0.728)=2.31×〖10〗^9 lb.〖in〗^2

Factores de longitud efectiva.

φ=(∑▒(E_c I_c)/l_c )/(∑▒(E_b I_b)/l_b )

b≤L/4=30/4=7.5×12=90´´

I_c=1/12×(14)×〖(14)〗^3=3201〖in〗^4

I_b=0.5×I_g=0.5(36600)=18300 〖in〗^4

l_c,y l_b son los claros de la columna y viga respectivamente medido centro a centro del nudo en el marco.

Columna DE

El valor de φ en E es :

φ_E=((E_C×3200)/(24×12))/((E_B×18300)/300) ∴ E_c=E_b→Asi ,φ_E=0.182

El valor de φ en D es :

φ=(E_c×3200/288+E_c×3200/240)/(E_b×18300/360)=0.481

De la figura 12.27, el valor de k=0.63 .

Para columnas arriostradas, existe un valor superior del factor de longitud efectiva de pandeo k, como el menor de las siguientes dos expresiones:

k=0.7+0.05(φ_A+φ_B)≤1.0

k=0.85+0.05×φ_min≤1.0

Donde φ_A y φ_B son los valores de φ en los extremos y φ_min es el menor de los dos valores.

k=0.7+0.05(0.182+0.481)=0.733

De la tabla 12.2 es k=0.86 y este valor es el que se usara.

B) Columna CD

El valor de φ en D es φ_D=0.481.

φ=((4E_c I_c)/l_c )/(I_f k_s )

I_f=〖48〗^4/12=442400〖in〗^4

φ_c=((4×3.122×〖10〗^6×3201)/240)/(〖48〗^4/12×160)=2.35

De la fig.12.27: k=0.76

k=0.7+0.05(0.481+2.35)=0.84

De la fig.12.2: k=0.77

Usar k=0.77 para la columna CD

8. Cálculo de momentos aplicados.

M_c=S_b M_2b+ S_s M_2S

S_s=1.0 y M_2S=0 para marcos arriostrados

S_B=C_m/(1-P_u⁄(∅P_C ))≥1.0

Columna CD:

C_m=0.6+0.4((-38)/94.4)≥0.4

C_m=0.44

P_c= (π^(2 ) EI)/(kl_u )^2

l_u=18´´=216´

P_c=(π^2×2.33×〖10〗^9)/(0.77×216)^2 =831317=831.3k

S_b=0.440/(1-134.4/(0.7×831.3))≥1.0

S_b=0.572<1.0 Por lo tanto〖 S〗_b=1.0.

La sección de momento permanece en el extremo de la columna.

Columna DE

C_m=0.6+0.4(51.2/68.48)=0.899

P_c=(π^2×2.31×〖10〗^9)/(0.86×264)^2 =442290=442.29k

S_b=0.899/(1-82.4/(0.7×442.29))≥1.0

S_b=1.225

Esta columna está afectada por la esbeltez

M_c=1.225×68.48+1.0×0=83.88 k.ft

La columna DE debe ser diseñada para Pu= 82.4 K y M_u=M_c=83.88k.ft

Calculo del refuerzo

La fig.3.31 muestra los diagramas de interaccion para una columna de 14×14´´, con 4#8 ,4#9, y 4#10.

Columna CD: usar 14×14´´,4#8

Columna DE: 14×14´´,4#7

En marcos no-arriostrados es necesario calcular S_b y S_s.

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