Ejercicios de maximos y minimo

1. Encuentre tres números positivos tal que la suma de los tres sea 60, el segundo número sea el doble del primero y su producto sea máximo.

[pic 1]

[pic 2]

 (Ecuación 2)                              [pic 3]

[pic 4]

  (Ecuacion 3)[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Ahora igualamos la función ya derivada a cero       [pic 8][pic 9]

[pic 10]

 [pic 11]

[pic 12]

   [pic 13]

[pic 14]

 [pic 15]

 [pic 16]

 En [pic 17][pic 18]

  [pic 19]

x = 0 es un mínimo.

Estamos buscando un máximo

 En [pic 20][pic 21]

  [pic 22]

, es un máximo de la función.[pic 23]

Ahora

[pic 24]

Solución

1er numero: [pic 25]

2do numero: 40

3er numero: 0

Producto Máximo: 0

1. Encuentre las dimensiones de una piscina de base cuadrada, con una capacidad de 300𝑚3, de tal forma que el costo del material empleado para el revestimiento de esta sea mínimo.

Volumen    =>        300m3 =x2y    =>      [pic 27][pic 26]

Recubrimiento (superficie, paredes y fondo)

S= x2 +4xy             x2+4x ( )[pic 29][pic 28]

S=x2+            f(x)= x2 + [pic 30][pic 31]

Ahora

F´(x) = x2 + 1200(- )       [pic 32]

2x +1200 (- x-2)

F´(x) = 2x +1200(- x-2)

F´(x) =2x + 1200 (- )       [pic 33]

 F´(x)= 2x-[pic 34]

Ahora   F´(x) =0

2x- =0             =0[pic 35][pic 36]

2x3-1200=0           x3=[pic 37]

X3=600           x=        [pic 38]

X = 8,43

Ahora

F´(x) =2x- [pic 39]

F´´(x) =2 -1200()          2- 1200 ()[pic 40][pic 41]

F´´(x) =2+[pic 42]

 Ahora

F´´( 8,43)           2+        2+[pic 43][pic 44]

F´´  ( 8,43)=2+4         F´´( 8,43)=6>0 hay un mínimo

Ahora

V=x2y

Y= [pic 45]

Y=[pic 46]

y≈ 4,22m

 SOLUCION

x≈ 8,43m

y≈ 4,22m

S = 213,3633m3 de recubrimiento

Nota: son aproximaciones de los números que en realidad lanzo la calculadora

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