Emprendimiento

INTRODUCCION

A menudo en nuestra área de administración en servicios de salud, necesitamos estudiar las propiedades de una determinada población, pero nos encontramos con el inconveniente de que ésta es demasiado numerosa como para analizar a todos los individuos que la componen. Por tal motivo, recurrimos a extraer una muestra de la misma y a utilizar la información obtenida para hacer inferencias sobre toda la población. Estas estimaciones serán válidas sólo si la muestra tomada es “representativa” de la población.

Así, el muestreo es una técnica que utilizaremos para inferir algo respecto de una población mediante la selección de una muestra de esa población. En este match-block veremos, entre otras cosas, cómo es posible estimar la media de la población a partir de la distribución que siguen las medias de las diferentes muestras obtenidas.

OBJETIVOS GENERALES

Conocer, distinguir y aplicar las distintas distribuciones estadísticas con base a cada una de sus tablas correspondientes y formulas establecidas para su posterior calculo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Introducir las distribuciones de probabilidad que más se utilizan en la toma de decisiones.

• Utilizar el concepto de valor esperado para tomar decisiones.

• Mostrar qué distribución de probabilidad utilizar, y cómo encontrar sus valores.

• Entender las limitaciones de cada una de las distribuciones de probabilidad que utilice.

VARIABLES

Variables cualitativas

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son plutómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

• Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

• Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores o el lugar de residencia.

Variables cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:

• Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

• Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), que solamente está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables, también puede ser el dinero o un salario dado y se puede identificar las clases de variables (cualitativas y cuantitativas).

DISTRIBUCION NORMAL

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar

N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).

Φ (k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Centésimas en la fila de arriba.

P (Z ≤ a)

P (Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P (Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P (Z > −a) = P (Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b) = P (Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P (−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

P (−a < Z ≤ b) = P (Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

Aproximación de la binomial por la normal

Teorema de Moivre

Si:

n•p ≥ 0 y n•q ≥ 0.

La distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal:

Ejercicios

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 75 kg.

2. Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2. Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3. Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N (65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tipos se han teléfono.

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga

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