FACTORIZACION

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Proceso de escribir un número o un polinomio como el producto de sus factores.

Por ejemplo, ya que x2 - 1 tiene los factores (x + 1) y (x - 1), se puede escribir como (x + 1)(x - 1).

La factorización es un concepto importante cuando se trabaja con ecuaciones cuadráticas. Para resolver la ecuación x^2 – 4 = 0, las soluciones se vuelven evidentes cuando la ecuación se factoriza de la siguiente manera:

X^2 – 4 = (x + 1)(x – 2)

Como se muestra, tenemos que x + 2 = 0, o x – 2 = 0

De ahí que, x = - 2, o x = 2

-POLINOMIOS CON UN MONOMIO (O FACTOR COMUN)

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común:

Factor común:

Se le llama factor común al mayor factor o factores iguales de todos los términos de un polinomio.

Ejemplo:

Agrupación de términos:

En este caso de factorización, el polinomio presenta 4 ó 6 términos comúnmente. Como no existe un factor común a todos los términos debemos agruparlos de dos en dos, o de tres en tres, entre paréntesis, expresando las adiciones correspondientes, de tal forma que cada paréntesis sea factorizable por factor común. Luego el objetivo es lograr una expresión algebraica que sea factorizable nuevamente por factor común.

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

FORMULA:

a • x + b • x + c • x = x (a + b + c)

Cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Ejemplos:

1)

<

El factor común es:

<

luego:

2)

Hallamos el factor común de cada paréntesis y obtenemos:

Hallamos el factor común de la expresión resultante y obtenemos:

-BINOMIOS QUE SON LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma

a2 – b2

en donde a y b son números reales.

La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos

binomios conjugados

FORMULA:

a2 – b2 = ( a + b ) (a – b )

EJEMPLOS:

1: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

2:(Con términos negativos)

4a - 4b + xa - xb =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

-TRINOMIOS QUE SON CUADRADOS PERFECTOS

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos del trinomio.

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como

a2+2ab+b2=(a+b)2

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