Factorización

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO

EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es

encontrar los factores, dado el producto.

Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan

como resultado la primera expresión.

Ejemplo: sí; (x 2)(x 3) x2 5x 6 + + = + +

Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores de x2 5x 6 + + , así pues, factorizar una expresión

algebraica es convertirla en el producto indicado.

Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los

mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos

procedimientos.

1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se

le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de

un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del

polinomio entre el factor común.

Ejemplos:

Factorizar los siguientes polinomios:

a) a2 2a a(a 2) + = +

b) 10b 30ab2 10b(1 3ab) + = +

c) 10a2 5a 15a3 5a(2a 1 3a2 ) + + = + +

d) 5a3b2 x 15a 4bx 2 35a2b2 x4 y5 5a2bx(ab 3a2 x 7bx 3y5 ) + - = + -

e) 12a2b3 30a 3b2 18ab4 42a 4b 6ab(2ab2 5a2b 3b3 7a3 ) - + - = - + -

f) 15a2 x2 30a2 x3 105a 2x4 75a 2 x5 15a 2x2 (1 2x 7x 2 5x3 ) - + - = - + -

g) 44axn 22a2bx n 1 66a3 xn 2 22axn ( 2 abx 3a2 x2 ) - + + - + = - + -

h) xm+nyn - x2nym+n - xny2m = xny(xmyn-1 - xnym+n-1 - y2m-1 )

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2. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.

Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.

a). Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: a2 b 2 (a b)(a b) - = + - ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al

producto de dos binomios conjugados.

Ejemplos:

1) 9x2 4y4 (3x 2y2 )(3x 2y2 ) - = (3x)2 - (2y2 )2 = + -

2) 25x 2 16a 2b2 5x 4ab)(5x 4ab) - = (5x)2 - (4ab)2 = ( + -

3)

(x 4)(x 2)(x 2)

x 16

2

4

= + + -

- = (x2 )2 - (4)2 = (x2 + 4)(x2 - 4) = (x2 + 4)[(x)2 - (2)2 ] =

4) ÷ø

ö

çè

æ

÷ø

ö

çè

æ

÷ø

ö

çè

æ

÷ø

ö

çè

- = æ - = + -

3

y

4

x

3

y

4

x

9

y

16

x2 2 2 2

3

y

4

x

b). Factorización de un cuadrado perfecto:

Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:

(a + b) = a2 + 2ab + b2 2 y también (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos

que 4a 2 es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal,

con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino

del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando

este binomio al cuadrado.

Ejemplos:

1) m2 2m 1 (m 1)2 (m 1)(m 1) + + = + = + +

2) 4x 2 25y2 20xy + - . Ordenando y factorizando, se tiene:

4x 2 20xy 25y 2 (2x 5y) 2 (2x 5y)(2x 5y) - + = - = - -

3) 1 16ax 2 64a 2x4 (1 8ax2 ) 2 (1 8ax2 )(1 8ax2 ) - + = - = - -

4) 9x2 12xy 4y2 (3x 2y) 2 (3x 2y)(3x 2y) - + = - = - -

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