Factorización

CAPITULO X - FACTORIZACIÓN

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores:

Ejemplo:

x4 - 1 = (x2 + 1) (x2 - 1)

(x2 + 1) (x + 1) (x - 1)

Una expresión queda completamente factorizada cuando se la representa como el producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores lineales".

Se llama factores lineales las que tienen grado 1.

* comparas con ejemplo anterior

* factor primo: que no se puede seguir factorizando: ejemplo(x+3)2 F. primo =(x+3)

Métodos de factorización

1) Factor común:

a) Se halla el M.C.D. de los coeficientes de los términos de la expresión dada.

b) Se multiplica dicho M.C.D. por los factores literales comunes a todos los términos, pero con su menor exponente. Este producto se llama factor común.

c) Se multiplica (en forma indicada) el factor común hallado por el resultado de dividir cada término de la expresión dada entre el factor común hallado.

Ejemplo: 24x3y2m4 + 36x4y3m - 8x2yz3

I.

II) 4x2y

III) 4x2y (6xym4 + 9x2y2m - 2z3)

Ejemplos:

1. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 + 48 m5n4

12m2n

12m2n (1 + 2mn - 3m2n2 + 4m3n3)

2. 17a5b2 - 51a4b3 + 85a2bz4

17a2b (a3b - 3a2b2 + 5z4)

3. 4n + 12n = 4n (1 + 3n)

4. 27x3y2z - 18xyz2 + 9x2y3z

9xyz (3x2y - 2z + xy2)

5. 55x8/3 + 5x5/3 - 15x2/3

5x2/3 (11x6/3+x3/3-3)

5x2/3 (11x2 + x- 3)

6. b (x - a) + x (x - a)

(x - a) (b + x)

7. 7m3 (x + 8)2 - (x + 8)3

(x + 8)2 [7m3 - (x + 8)]

(x + 8)2 [7m3 - x - 8]

8. m2 (5x - 3a) + 2abn (5x - 3a)

(5x - 3a) (m2 + 2abn)

9. 3b(a + 1) + a + 1

3b(a + 1) + (a + 1)

(a + 1) (3b + 1)

10. (x - 1) (x - 2) (x - 3) + (x - 1) (x - 2) - (x - 1) + 3 (x - 1) (x -3)

(x - 1)[(x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 + 3(x - 3)]

(x - 1) (x - 3) [x - 2 + 1 + 3]

(x - 1) (x - 3) (x + 2)

2).Agrupación de términos

1. ax + by + bx + ay

(ax + bx) + (ay + by)

x(a + b) + y (a + b)

(a + b) (x + y)

2. x3 + x2 + x + 1

(x3 + x2) + (x + 1)

x2(x + 1) + (x + 1)

(x + 1) (x2 + 1)

3. 3a - b2 + 2b2x - 6ax

(3a - b2) + (2b2x - 6ax)

(3a - b2) + 2x(b2 - 3a)

(3a - b2) - 2x(3a - b2)

(3a - b2) (1 - 2x)

4. 2am - 2an + 2a - m +n - 1

2a(m - n + 1) + (-m +n - 1)

2a(m - n + 1) - (m - n + 1)

(m - n + 1) (2a - 1)

5. a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2

(a3 + a) + (a2 + 1) + x2 + a2x2

a(a2 + 1) + (a2 + 1) + x2 (1 + a2)

(a2 + 1) (a + 1 + x2)

3) Trinomio cuadrado perfecto:

1. Ordenar el Trinomio.

2. El 1ro y 3er término deben ser positivos.

3. Los extremos deben ser cuadrados perfectos.

4. El 2do término debe ser el doble producto de las raíces de los extremos.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplo : x4 - 4x2 + 4

x2 2(2)x2 2

(x2 - 2)2

1. 1 + 49x4y2 + 14x2y

49x4y2 + 14x2y +1

7x2y (7x2y)(1) 1

2. -x2 + 2x - 1

-[x2 - 2x + 1]

-[x - 1]2

-(x - 1)2

3.

4. 4a2 + 4ab + b2

2a 2(2a)b b

(2a + b)2

5.

6. 32a3x2 + 200y2a3 - 160xa3y

8a3 (4x2 + 25y2 - 20xy)

8a3 (4x2 - 20xy + 25y2)

2x 2(2x)(5y) 5y

8a3 (2x - 5y)2

7. 4(x + 1)2 + 4(x + 1) + 1

2(x + 1) 2[2(x+1) 1] 1

[2(x + 1) + 1]2

[2x + 2 + 1]2

(2x + 2 + 1]2

(2x + 3)2

8. 9(x - y)2 + 12 (x2 - y2) + 4 (x + y)2

3(x - y) 2.3(x-y).2(x+y) 2(x+y)

12(x2-y2)

[3(x - y) + 2(x + y)]2 =

(3x - 3y + 2x + 2y)2

(5x - y)2

4) Diferencia de cuadrados:

1. x4 - 1

(x2)2 - 12

(x2 + 1) (x2 - 1)

(x2 + 1) (x + 1) (x - 1)

2. x2 - 4

x2 - 22

(x + 2) (x - 2)

3. (a + x)2 - (x + 2)2

[a + x + x + 2] [a + x - (x + 2)]

[a + 2x + 2] [a + x - x - 2]

(a + 2x + 2) (a - 2)

4. a2 + 2ab + b2 - x2

(a + b)2 - x2

(a + b + x) (a + b - x)

5. 1 -a2 - d2 + 2ad

1 - (a2 - 2ad + d2)

1 - (a - d)2

[1 + (a - d)] [1 - (a - d)]

(1 + a - d) (1 - a + d)

6. (5x - 4)2 - 4 (3x + 2)2

(5x - 4)2 - [2 (3x + 2)]2

(5x - 4 + 2(3x + 2) ) (5x - 4 - 2 (3x+2) )

(5x - 4 + 6x + 4) (5x - 4 - 6x - 4)

11x (-x - 8)

-11x (x + 8)

*. Factorizar y dar como respuesta la suma de factores.

m2 - 2mn + 6m - 6n + n2

m2 - 2mn + n2 + 6m - 6n

(m - n) 2 + 6(m - n)

(m - n) [m - n + 6]

(m - n) (m - n + 6)

m - n + m - n + 6 = 2m - 2n + 6

x4 + x-4 + 2

x4 + 2 + x-4

x2 2x2x-2 x-2

(x2 + x-2)2 = (x2 + x-2) (x2 + x-2)

x2 + x-2 + x2 + x-2 = 2x2 + 2x-2 = 2(x2 + x-2)

25(x - y)2 - 4(x + y)2

[5(x - y)]2 - [2(x+y)]2

[5(x - y) + 2(x + y)] [5(x - y) - 2(x + y)]

(7x - 3y) (3x - 7y)

7x - 3y + 3x - 7y = 10x - 10y

x2 + x3 - x - 1

x2(x + 1) - (x + 1)

(x + 1) (x2 - 1)

(x + 1) (x + 1) (x - 1)

x + 1 + x + 1 + x - 1 = 3x + 1

*. El número de factores se halla sumando los exponentes de los factores primos.

Hallar el número de factores:

256a12 - 81b4m8

(16a6)2 - (9b2m4)2

(16a6 + 9b2m4) (16a6 - 9b2m4)

(16a6 + 9b2m4)1 (4a3 + 3bm2)1

(4a3 - 3bm2)1

#. Factores = 1 + 1 + 1 = 3

x2a2 - 6xa2 + 9a2

a2(x2 - 6x + 9)

a2 (x - 3)2

#. Factores = 2 + 2 = 4

x2y3 (x - y)2 (x2 + 3)

#. Factores = 2 + 3 + 2 + 1 = 8

5. Trinomios de la forma : x2n + bxn + c

Ejemplo :

x2n + bxn + c = (xn + u) (xn + v)

u + v = b

uv = c

x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

*. Para colocar los signos en los paréntesis se sigue la siguiente regla:

- en el primer paréntesis va el signo de b

- en el segundo paréntesis va el producto de los dignos de b y c.

- el mayor de los números va en el primer paréntesis.

1. x2 + x - 2

(x + 2) (x - 1)

2. a2 - 11a + 28

(a - 7) (a - 4)

3. x4 - 5xb - 50b2

(x2 - 10b) (x2 + 5b)

4. x6 - 15x3y + 26y2

(x3 - 13y) (x3 - 2y)

5. (x4 + 8x3 - 9)

(x2 + 9) (x2 - 1)

(x2 + 9) (x + 1) (x - 1)

6. x4 - 10x2 + 9

(x2 - 9) (x2 - 1)

(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1)

...