FUNCIONES DIFERENCIABLES

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FUNCIONES DIFERENCIABLES

OBJETIVO:

• Desarrollar conocimientos  acerca de temas de Calculo Diferencial
• Tener conocimientos acerca de las funciones diferenciables para poder resolver problemas.

INTRODUCCION:

En este capítulo comienza el cálculo diferencial para funciones de varias variables reales con valores escalares o vectoriales.

Las funciones con derivadas parciales acotadas son continuas y las funciones con derivadas parciales nulas son constantes si su dominio es un abierto conexo. Una de las primeras aplicaciones de la noción de derivada parcial la proporciona la condición necesaria de extremo relativo.

El marco adecuado lo proporciona la noción de aplicación diferenciable. En este caso la diferencial en un punto proporciona una aproximación local de la función mediante un polinomio de primer grado (lo que equivale a una aproximación local, mediante una aplicación lineal, del incremento de la función).

 Esta noción, para funciones de dos variables, se motiva con el problema de definir planos tangentes a ’superficies’ dadas en forma explícita z = f(x, y).

Después de introducir la noción de aplicación diferenciable y de haber estudiado las condiciones necesarias para la diferenciabilidad se demuestra la condición suficiente de diferenciabilidad en términos de continuidad de las derivadas parciales.

Este resultado proporciona una herramienta eficaz para obtener la diferenciabilidad de funciones en las situaciones habituales. A continuación se establecen las reglas usuales del cálculo diferencial (diferencial de la suma, del producto, etc.) haciendo especial énfasis en la regla de la cadena, en la que se apoyan la mayor parte de los resultados útiles del cálculo diferencial.

METODOLOGIA:

Este capítulo trata de las funciones diferenciables de cálculo elemental, se sabe que la suma, diferencia y producto de funciones diferenciables son diferenciables; y con un poco de cuidado para evitar cero en el denominador e incluso raíces de números negativos, el cociente, potencias y raíces de funciones diferenciables son diferenciables. 

En el caso de funciones trascendentales, sin embargo, la situación es algo diferente. Las definiciones de trigonométricas, funciones trigonométricas logarítmicas, exponenciales, hiperbólicas, inversas y todos implican, de alguna manera, la idea de un límite de funciones algebraicas; y, de hecho, esta es una característica esencial de las funciones trascendentales. 

El capítulo trata de que C (1) [a, b] es completo bajo la norma de ese espacio. 

CONCLUSION

La conclusión de que el límite de una secuencia de funciones continuamente diferenciables tiene una derivada continua, se debe determinar no sólo que la secuencia de funciones converge uniformemente, sino también que la secuencia de los derivados converge uniformemente.

COMENTARIO:

Este capítulo nos sirve para tener  una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable.

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