Unidad: Diferencial de una función

Unidad Nº 5

Diferencial de una función

Definición:

Dada una función f definida por y= f(x), siendo f’ la derivada primera de la función f , y Δx un incremento arbitrario de la variable independiente x, entonces la diferencial de una f en un punto (x,f(x)) es el producto de la derivada primera de la función en dicho punto, por el incremento de la variable independiente.

La diferencial de la función f en el número x perteneciente a su dominio se representa df(x) o bien dy.

en símbolos:

                [pic 1]

Observación:

La diferencial de una función en un punto existe si y sólo si existe la derivada primera de la función en dicho punto. Por esta razón resulta que: Una función es diferenciable en un punto si y sólo si es derivable en dicho punto. Esto determina que si bien la derivada de una función en un punto no es lo mismo que la diferencial de la función en dicho punto, se utilicen en matemática como sinónimos los términos derivable y diferenciable.

Interpolación geométrica de la diferencial de una función

[pic 2]

Dada la gráfica de la función definida por y = f(x), trazamos, por un punto cualquiera M(x, f(x)), la recta tangente a la curva en dicho punto y luego damos un incremento arbitrario Δx a la variable independiente, por ejemplo [pic 3].[pic 4]

En el triángulo rectángulo MPT definimos [pic 5]

[pic 6]

la diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada de la recta tangente a la curva en dicho punto correspondiente a un incremento Δx de la variable independiente.

Diferencial de la variable independiente

Dada la función identidad tenemos:

y = x

dy = 1 · Δx

dy = Δx

como y = x resulta dy = dx

∴dx = Δ x

Expresión analítica de la diferencial de una función

   Df(x) = f’(x) · Δx     Definición de diferencial de una función

Como Δx = dx   resulta

  Df(x) = f’(x) · dx    Expresión analítica de la diferencial de una función

Notación de LEIBNITZ para derivada

Dada la función f, si existe f’(x) entonces la diferencial de la función f en el punto (x, f(x)) es:

[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Relación entre la diferencial dy y el incremento Δy de la función

Dada la función f definida por y = f(x) entonces: si existe f’(x) tenemos que:

[pic 12]

La definición de límite finito de una función en un punto[pic 13] perteneciente al dominio de la misma es:

Definición:

Sea [pic 14] un punto de acumulación de la función f, definimos:

[pic 15]

Como x –x0 =Δx   ∧   [pic 16]   resulta que:

                [pic 17]

Esto significa que⏐Δy -dy⏐ es pequeño comparado con ⏐Δx⏐. En consecuencia si ⏐Δx⏐ es suficientemente pequeño, dy es una buena aproximación de Δy.

∴ dy ≅ Δy  Si Δx es suficientemente pequeño

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