Calculo diferencial Función valor absoluto

Función valor absoluto.

Definición

El valor absoluto se define en cualquiera de los sistemas numéricos, de los números enteros, racionales, reales como:

* |a| = a si a ≥ 0;

* |a| = -a en otro caso; para un elemento a de los sistemas numéricos indicados.

Definiciones equivalentes

Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:

1. |a| = \sqrt{a^2} 2. |a| es igual al máximo de {a, -a}.

Valor absoluto de un número real.

Función 01 abs.svg

La función se define de los números reales sobre los números reales positivos. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real x\, está definido por:

\begin{array}{rccl}

\text{abs} : & \R & \to & \R^{+} \cup \{0\} \\

& x & \to & y = \text{abs}(x)

\end{array}

Que se expresa:

\text{abs}(x) = |x| = \left \{

\begin{array}{rcl}

x, & \mbox{si} & x \ge 0 \\

-x, & \mbox{si} & x < 0

\end{array} \right .

La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

\text{id}(x) = \text{sgn}(x) \; \text{abs}(x)

Por definición, el valor absoluto de x \, siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real x\, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.

La función valor absoluto una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales.

|a| \ge 0

No negatividad

|a| = 0 \iff a = 0

Definición positiva

|ab| = |a| |b|\,

Propiedad multiplicativa

|a+b| \le |a| + |b|

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

-|a|\le a \le |a|

Otras propiedades.

|-a| = |a|\,

Simetría

|a-b| = 0 \iff a = b

Identidad de indiscernibles

|a-b| \le |a-c| + |c-b|

Desigualdad triangular

|a-b| \ge ||a| - |b||

(equivalente a la propiedad aditiva)

\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|} (\text{si } \ b \ne 0)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

\left| x \right|' = \text{sgn}(x)

derivada (en el sentido de las distribuciones)

Otras dos útiles inecuaciones son:

* |a| \le b \iff -b \le a \le b * |a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

|x-3| \le 9

\iff -9 \le x-3 \le 9

\iff -6 \le x \le 12

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

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