FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se pone especial interés en los conceptos de relación y función, pues son de fundamental importancia en la matemática, imprescindibles para lograr su aplicación en las más diversas disciplinas.

Comenzamos con un breve estudio de par ordenado luego con el producto cartesiano, que es una operación fundamental entre conjuntos para definir relaciones.

Luego nos detenemos en el análisis de las relaciones en general, estudiando su representación gráfica, dominio e imagen.

PAR ORDENADO

Definición:

Dos elementos a y b dados en un determinado orden, constituyen un par ordenado.

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componente

Segundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

Matemáticamente esto se expresa:

Y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A y pertenece a B.

• Pueden ser usados para mostrar la posición en un gráfico, donde el valor "x" (horizontal) es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo.

• Ejemplo:

aquí el punto (12,5) está 12 unidades a lo largo, y 5 unidades arriba.

Igualdad de pares ordenados.

Dos pares ordenados son iguales, si y solo si son iguales sus respectivas componentes. Es decir que

(a,b) = (c=d) si y solo si a=c y b=d.

Ejemplo 1

(2x+5; 8) = (7;y+10)

Explicación:

2x+5 Es la primera componente del primer par ordenado (a)

8 Es la segunda componente del primer par ordenado (b)

7 Es la primer componente del segundo par ordenado (c)

y+10 Es la segunda componente del segundo par ordenado (d)

Cuando tenemos dos pares ordenados, que son iguales se debe de cumplir que la primera componente del primer par ordenado debe ser igual a la primera componente

del segundo par ordenado.

Lo mismo sucede con las segundas componentes ambas segundas componentes deben ser iguales,asi tenemos que si (a,b) es igual a (c,d) se debe cumplir entonces que a es igual a c y b es igual a d

Solución al ejemplo 1.

(2x+5; 8 ) = (7; y+10)

Establecemos dos ecuaciones

Primera ecuación

2x+5= 7

2x= 7-5

2x= 2

x=2/2

x=1

Segunda ecuación.

Y+10=8

y=8-10

y=-2

Ahora se debe sustituir los valores encontrados (los de las incógnitas) en los pares ordenados originales.

(2x+5; 8) =(7:y+10)

[2(1)+5;8]=[7;-2+10]

[ 2+5;8]=[7;8]

[7;8]=[7;8]

Por lo tanto diremos que para este ejemplo se cumple la igualdad de pares ordenados ya que ambas primeras componentes es 7 tanto en el primer par ordenado como el segundo par ordenado; lo mismo para las segundas componentes cuyo valor es 8.

PRODUCTO CARTESIANO A X B

Se define el producto cartesiano A X B para 2 conjuntos, en este caso el conjunto A y el conjunto B.

El producto cartesiano A X B es un conjunto que tiene como elementos pares ordenados.

Simbólicamente:

Ejemplo:

Definimos los conjuntos:

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.

La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

Ejemplo 2:

PLANO CARTESIANO

Llamado también Sistema Cartesiano de Coordenadas, está formado por dos rectas numéricas cortadas perpendicularmente; el punto de corte de estas rectas es el origen o cero y a partir de allí se ubican los números ordenadamente en las 4 direcciones (arriba, abajo, derecha e izquierda). A la recta horizontal se le llama eje x o de las abscisas; y la recta vertical se llama eje y o de las ordenadas.

En el eje x a la derecha están los números positivos.

En el eje x a la izquierda

...