Funcion Euler

Introducción

Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver.

Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.

La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos , llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de :

De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.

Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:

Si es un número primo y es un número natural que no es divisible por , entonces Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función de Euler ejerce un papel de suma importancia.

Leonhard Euler y las matemáticas puras

Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.

Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733.

En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte.

Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.

La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y nietos.

Murió el 7 de septiembre de 1783.

La función de Euler

Recordemos para comenzar el siguiente concepto:

Números primos entre sí

En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.

Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras. Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

Propiedades

Básicas

El máximo común divisor de dos números primos entre sí a y b es 1. Por tanto, no existe ningún número primo que divida a ambos.

Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y tales que a•x + b•y = 1. (Identidad de Bézout)

Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides)

Los números enteros a y b son primos entre sí cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir, existe un número entero y tal que b•y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí y bm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z/nZ de los enteros módulo a.

La función indicatriz de Euler, primeros pasos

Es la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor.

Es decir, la cantidad de los números 1..n que son primos con n.

Veamos los primeros valores:

Siempre es bueno tener una visualización de su distribución, primeros valores:

(los rojos son los primos con el número más a la derecha de cada secuencia). Algunos

valores más:

¿Notan alguna regularidad? Uno podría

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