Funciones: Tablas, gráficos y fórmulas

Funciones: Tablas, gráficos y fórmulas

Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la

primera magnitud, llamada variable independiente, le corresponde un único valor de la segunda magnitud, llamada variable dependiente o función.

Una misma función se puede representar mediante

una fórmula, una tabla, o mediante un gráfico.

Ejemplo:

t -2 -1 0 1 2

v = t2 v 4 1 0 1 4

Fórmula Tabla Gráfico

1 Dada la siguiente tabla, contesta las siguientes preguntas:

Diámetro 1 2 3 4 5

Longitud de la circunferencia 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71

a) ¿Puedes encontrar alguna fórmula que relacione las dos variables?

b) ¿Cuál sería la variable independiente y cuál la dependiente?

2 Escribe las fórmulas que corresponden a los siguientes enunciados:

a) A cada número le corresponde el mismo más dos.

b) A cada número le corresponde su doble.

c) A cada número le corresponde su cuadrado.

d) A cada número le corresponde su inverso.

3 Una persona sale de paseo de su casa y durante su recorrido para en cuatro lugares diferentes. El gráfico representa esta situación.

a) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo?

b) ¿Cuánto tiempo ha estado en cada uno de los cuatro sitios?

c) ¿Cuál es el sitio que se encuentra más lejos de su casa?

d) ¿En qué momentos ha ido más deprisa?

Dominio y recorrido de funciones

Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

A cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente.

Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

y = x

Dominio: R

Recorrido: R

4 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función correspondiente al ejercicio 1?

5 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función y = + ?

6 Indica el dominio y el recorrido de la función representada por la siguiente gráfica.

7 Indica el dominio y el recorrido de la función, dada por la fórmula y = x + 1.

8 Representa los valores de la variable independiente 1, 2, 3, 4 y 5 de la función y = x - 1.

Representación gráfica de funciones

Los ejes de coordenadas cartesianas son Ejemplo 1:

el eje horizontal de abscisas (X) y el

eje vertical de ordenadas (Y). Al punto

donde se cortan ambos ejes se le llama

origen de coordenadas, O. Un punto del

plano está definido por un par de

valores (x, y).

Las funciones se representan mediante Ejemplo 2: y = x + 1

sus gráficas cartesianas. Los valores

de la variable independiente se x 0 1 2 3 ...

representan en el eje X y los valores y 1 2 3 4 ...

de la variable dependiente o función en

el eje Y. Los pares de valores (x, y)

se ordenan en una tabla y los puntos

obtenidos son la gráfica de la función.

9 Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos:

A(1, 2) B(-1, 2) C(2, -3)

D(-2, -3) E(0, 0) F(1/2, -1)

G(-3/2,-2) H(-1, -3) I(-3, 1,5)

10 Representa gráficamente la función y = x teniendo en cuenta que el dominio de la variable independiente es R.

11 Representa gráficamente la función y = x siendo el dominio:

a) Z b) N

12 Representa la función y = x2. ¿Cuál es el recorrido?

13 Representa la función y = . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido?

14 Consideremos todos los rectángulos de área 10 m2. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base.

15 Consideremos los rectángulos cuyo perímetro es 200 m. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base.

Propiedades globales de las funciones (I): Continuidad

Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse de una sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde la estamos dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Función continua Función discontinua

en [-2, 3] en x = 0

16 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función.

17 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función:

18 Representa gráficamente la función f(x) = |x|. Indica si es continua o no.

1 si x  1

19 Representa la función f(x) = 2 si 1 < x  2 y estudia su continuidad.

3 si x > 2

Propiedades globales de las funciones (II): Crecimiento, máximos y mínimos

Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta y.

Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x, disminuye y.

Ejemplo 1:

Una función presenta un máximo relativo en un punto si crece a la izquierda de ese punto y decrece a la derecha. Si la función decrece a la izquierda y crece a la derecha presenta un mínimo relativo.

Ejemplo 2:

20 Indica dónde es creciente la función cuya gráfica está representada en la figura, así como sus máximos y sus mínimos:

21 Indica dónde es creciente la función

cuya gráfica está representada en la figura,

así como sus máximos y sus mínimos:

22 Dibuja gráficas para unas funciones que posean las siguientes características:

a) Dominio: todo R; recorrido: todos los números menores que 3; único máximo para x = 3.

b) Dominio: desde -3 hasta 4; recorrido: los números reales negativos; siempre creciente.

c) Dominio: R; recorrido: R+. un máximo para x = -1 y un mínimo para x = 3.

Rectas

La representación gráfica de una función

del tipo y = ax + b siempre es una recta.

El número a es la pendiente de la recta

y b, la ordenada de corte con el eje Y.

Ejemplo 1: y = 2x + 1

x 0 -1

y 1 -1

La recta que pasa por dos puntos de coordenadas, (x1, y1) y (x2, y2), tiene por ecuación:

Ejemplo 2:  y = -x + 2

Si las dos rectas se cortan, el punto de corte de ambas es la solución del sistema que forman sus dos ecuaciones.

23 Representa la recta que tiene por ecuación y = 2x + 3. ¿Cuál es su pendiente y su ordenada en el origen?

24 Representa la recta que tiene por ecuación y = -3x - 1. ¿Cuál es su pendiente y su ordenada en el origen?

25 Representa en los mismos ejes las rectas:

a) y = x + 2 b) y = 2x + 2 c) y = 3x + 2

d) y = 4x + 2 e) y = x + 2

26 Representa en los mismos ejes:

a) y = -2x + 1 b) y = -3x + 1 c) y = -4x + 1

d) y = -5x + 1 e) y = - x + 1

27 Representa en los mismos ejes:

a) y = 2x b) y = 2x + 2 c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 3

28 Representa en los mismos ejes:

a) x = 3 b) x = 1 c) x = 0 d) x = -2

29 Halla analítica y gráficamente el punto de corte de las rectas y = 2x - 4 e y = -x - 1.

30 Halla el punto de corte de las rectas y = 2x + 3 e y = 2x + 1. ¿Cómo son estas rectas?

31 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 3).

Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así, las rectas y = ax + b e y = ax + c son paralelas.

Ejemplo 1: y = 2x + 1 e y = 2x + 5 son paralelas porque tienen la misma pendiente a = 2.

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1. Así, las rectas y = ax + b e y = cx + d son perpendiculares si se cumple que a•c = -1.

Ejemplo 2: y = -5x + 3 e y = 1/5•x + 6 son perpendiculares porque (-5)•1/5 = -1.

32 Dadas las siguientes rectas decir cuáles de ellas son paralelas entre sí.

a) y = 2x - 5 c) y = 3 e) x = 1 g) y = -2x - 3 i) x = -1

b) y = - x + 4 d) y = -2x - 1 f) y = 2x + 4 h) y = 6 j) y = - x +

33 Dada la recta y = 2x + 1 escribe tres rectas cualesquiera que sean paralelas a ella.

34 Dada la recta y = -4x + 2 halla la ecuación de la recta paralela a ella que pase por el punto (1, 2).

35 Dadas las siguientes rectas, decir cuáles son perpendiculares entre sí.

a) y = 3x - 1 c) y = 4 e) x = -6 g) y = x - 1

b) y = x d) y = -4x + 3 f) y = - x + 4 h) y = - x + 5

36 Dada la recta y = 3x - 3, escribe las ecuaciones de cinco rectas perpendiculares a ella.

Ecuación general de la recta

La ecuación de una recta se puede expresar de la forma ax + by + c = 0. Esta forma se conoce como ecuación general de una recta.

Ejemplo 1: Escribe la ecuación general de la recta y = x - 5.

Pasando todo al primer miembro: - x + y + 5 = 0

Quitando denominadores: -3x + 2y + 10 = 0  3x - 2y - 10 = 0

Otra caracterización del paralelismo:

Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son paralelas 

Ejemplo 2: 2x + 3y + 1 = 0 y 4x + 6y + 5 = 0 cumplen que , luego son paralelas.

Otra caracterización de perpendicularidad:

Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son perpendiculares  a•a’ = b•b’

Ejemplo 3: x - 3y + 1 = 0 y 3x - y + 5 ¿ 0 son perpendiculares porque 1•3 = (-3)•(-1)

37 Escribe en forma de ecuación general la recta y = - x + .

38 Las rectas 2x - 3y + 4 = 0 y 4x – 6y + 3 = 0 ¿son paralelas? ¿Por qué?

39 Dada la recta x - 4y + 3 = 0.

a) Escribe la ecuación de una paralela cualquiera.

b) Escribe la ecuación de la paralela que pasa por (3, -4).

40 ¿Son perpendiculares x + 3y - 1 = 0 y - 3x + y - 4 = 0? ¿Por qué?

41 Dada la recta 2x + y - 1 = 0:

a) Escribe la ecuación de una perpendicular a ella.

b) Escribe la ecuación de la perpendicular que pasa por (0, 2).

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su producto es constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo:

x•y = k  y =

Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente proporcional al caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos tiempo tarda en llenarse:

t•c = k  t =

El dominio de las funciones inversamente

proporcionales es R – {0}, ya que el

cociente k/0 no está definido.

Su representación gráfica es una hipérbola (y = )

42 Construye la tabla de valores correspondiente a la función y = y represéntala posteriormente. (Indicación: da valores muy próximos a cero positivos y negativos, así como muy grandes en valor absoluto.)

43 Representa en los mismos ejes las funciones:

a) y = b) y = c) y = - d) y =

44 La presión p y el volumen V de una misma masa de gas son magnitudes inversamente proporcionales cuando la temperatura del gas permanece constante. Representa la gráfica correspondiente a un gas que se mantiene a temperatura constante:

p (atmósferas) 1 2 4 6

V (litros) 20 10 5 2,5

Funciones racionales

Las funciones racionales son del tipo y = donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)  0. El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los valores que anulan el denominador (raíces de q(x)).

Ejemplo: y = tiene como dominio R - {1} pues = no está definido.

Las funciones racionales de la forma

y = son hipérbolas del tipo y =

que posteriormente han sufrido un

desplazamiento horizontal y vertical.

45 Representa en los mismos ejes las funciones:

a) y = b) y = c) y =

46 Representa en los mismos ejes las funciones:

a) y = b) y = + 1 c) y = - 2

47 Representa en los mismos ejes las funciones:

a) y = + 1 b) y = + 2

48 Representa la función y = .

(Indicación: = c +  = 3 + )

Poblaciones, muestras, caracteres y variables estadísticas

Una población es un conjunto de elementos que cumplen una determinada característica. Una muestra es una parte o subconjunto de esa población.

Ejemplo 1: Los españoles son una población compuesta de personas que tienen nacionalidad española. Los andaluces son una muestra de esa población, los varones son otra, las personas menores de 25 años otra, los que tienen un mismo color de pelo, etc.

Cualquier rasgo de una población que permita obtener muestras se denomina carácter estadístico o característica. En el ejemplo anterior, ser andaluz, varón, menor de 25 años, son caracteres estadísticos. Los valores que toma un carácter estadístico se denominan variable estadística.

Ejemplo 2: El carácter estadístico «peso» aplicado a los 17 alumnos de una clase proporciona los valores: {35, 35, 34, 33, 33, 21, 33, 45, 50, 42, 42, 43, 46, 47, 38, 39}. Estos valores son la variable estadística que proporciona la característica «peso» en la población estudiada.

49 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la variable estadística asociada, para la población de libros de una biblioteca.

50 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la variable estadística asociada, para la población de coches de una ciudad.

51 Se desea estudiar la característica <<estatura>> de la población de una ciudad.

a) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por varones?

b) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por personas menores de 5 años?

c) ¿Cómo podrías elegir la muestra?

52 Inventa una población, una muestra y una característica que proporcione una variable estadística {2, 2, 4, 5, 3, 1, 1, 3}.

Organización de datos estadísticos. Tablas

La frecuencia absoluta (fi) de un valor xi es el número de veces que aparece ese valor.

La frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor xi es la suma de las frecuen-cias absolutas de los valores menores o iguales a xi: Fi = f1 + f2 + ... + fn

La frecuencia relativa (hi) de un valor xi es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos con los que estemos trabajando, N: hi =

La frecuencia relativa acumulada (Hi) de un valor xi es igual a la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales a xi: Hi =h1 + h2 +...+ hn

Si una variable estadística consta de muchos datos, éstos se agrupan en intervalos o clases para su mejor manejo. Conviene que sean de igual longitud, y a su punto medio se le denomina marca de la clase.

Los datos estadísticos se disponen en tablas.

Ejemplo: Dada la variable estadística {2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 5}, organizar sus datos estadísticos en una tabla.

xi fi Fi hi Hi

1 3 3 3/10 3/10

2 2 5 2/10 5/10

3 3 8 3/10 8/10

4 1 9 1/10 9/10

5 1 10 1/10 10/10 =1

N = 10 hi = 1

53 Realiza la tabla correspondiente al siguiente enunciado: las notas de una clase de matemáticas han sido:

{6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4}

54 Los resultados en el salto de altura de un conjunto de atletas han sido:

{2,20; 2,21; 2,21; 2,23; 2,24; 2,25; 2,25; 2,26; 2,27; 2,27; 2,28; 2,28; 2,28; 2,21; 2,30}

Agrupa estos resultados en intervalos o clases de 2 cm de amplitud e indica la marca de la clase.

55 Los goles que se han marcado en la última jornada de primera división han sido en los siguientes minutos de juego: {31, 32, 70, 5, 80, 24, 72, 43, 50, 17, 81, 79, 40, 83, 69, 56, 61, 46, 90, 23, 84, 43, 67, 3, 51, 31, 59, 78, 14, 66, 45, 29}. Realiza la tabla correspondiente agrupándolos en clases por cuartos de hora.

56 Los pesos en kilogramos de un grupo de personas son los siguientes: {62, 76, 57, 74, 68, 83, 61, 87, 71, 81, 68, 77, 62, 74, 68, 68, 74, 66, 73, 84, 54, 72, 78, 69, 88, 63, 76, 59, 71, 66}. Realiza una tabla agrupándolos por pesos de 5 kg en 5 kg.

57 El número de hijos en una serie de familias es el siguiente: con 0 hijos, 9. con 1 hijo, 18; con 2 hijos, 34; con 3 hijos, 19; con 4 o más, 20. Realiza la tabla correspondiente a estos datos. Suponiendo que estos datos fueran una muestra representativa de una ciudad con 8 500 familias, ¿cuántas tendrían 2 hijos?; ¿cuántas 3 hijos?; ¿cuántas menos de 2?

Gráficos estadísticos

Los datos estadísticos no agrupados en clases

se representan mediante diagramas de barras.

Ejemplo 1: El diagrama de barras de la variable

estadística {5, 5, 5, 4, 4, 6, 6, 3, 7} es:

Los datos estadísticos agrupados en clases se representan mediante histogramas de frecuencias.

Ejemplo 2: Dibuja el histograma de

frecuencias de la variable estadística,

agrupada en clases con sus respectivas

frecuencias:

Clases [20-30) [30-40) [40-50) [40-50)

fi 2 4 5 3

En ambos casos, si unimos los puntos medios de la parte superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.

Los diagramas de sectores dividen un

círculo en sectores cuyo ángulo central

es proporcional a la frecuencia

absoluta de los datos.

Ejemplo 3: Realiza un diagrama de

sectores para la variable estadística:

{1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}.

58 Realiza el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondientes a los datos del ejercicio 53. Asimismo, si las notas las consideramos agrupadas en los siguientes intervalos: {(0, 2); (2, 4); (4, 6); (6, 8) y (8, 10)}, realiza el histograma correspondiente y su polígono de frecuencias.

59 Realiza el histograma y el polígono de frecuencias correspondientes al ejercicio 55.

60 Realiza el histograma correspondiente a la tabla de datos del ejercicio 56.

61 Realiza un diagrama de sectores para los datos del ejercicio 57.

62 Los porcentajes de alumnos que han aprobado la selectividad en los últimos 10 años en dos colegios A y B han sido los siguientes:

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

A 84 86 90 91 87 83 81 79 84 76

B 81 83 86 90 92 91 87 88 87 84

Realiza un diagrama de barras para cada uno de ellos.

Medidas de centralización: Moda y mediana

La moda es el valor de una variable estadística que tiene mayor frecuencia. Si la distribución se agrupa en clases, aquella que tenga mayor frecuencia se denomina clase modal. En este caso, la moda será la marca de clase correspondiente.

Ejemplo 1: La moda de los valores {1, 1, 1, 2, 2, 3} es Mo = 1, pues su frecuencia es 3.

Ejemplo 2: La clase (60-70) es la clase modal de la distribución:

Clases (40-50) (50-60) (60-70) (70-80)

fi 4 5 6 3

- Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda.

Ejemplo 3: {1, 1, 5, 5, 6, 6} no tiene moda.

- Una distribución puede ser bimodal, trimodal... cuando haya dos, tres... valores con frecuencia iguales entre sí y mayores que las demás.

Ejemplo 4: {10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14} es bimodal, pues 12 y 13 son modas por tener 3 de frecuencia.

La mediana es el valor de la variable tal que la cantidad de datos que hay por debajo de él es la misma que la cantidad de datos que hay por encima. Para calcular la mediana lo primero que hay que hacer es ordenar los datos de menor a mayor.

Ejemplo 5: Como el número de datos de la variable estadística {1, 1, 2, 3, 4, 6, 8} es impar, la mediana es M = 3, por haber tres datos (1, 1, 2) por debajo y tres datos (4, 6, 8) por encima.

Ejemplo 6: Como el número de datos de la variable estadística {4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales: M = (5 + 6)/2 = 5,5

63 Calcula la moda y la mediana para el siguiente conjunto de datos:

{3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1}

64 Calcula la moda y la mediana para los datos de la tabla.

xi fi

0 5

1 6

2 8

3 4

4 4

65 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 53

66 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 54

67 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 55

68 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 57

Medidas de centralización: media aritmética

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los valores que toma la variable dividido por el número total de datos. Así, si x1 se presenta f1 veces; x2 se presenta f2 veces; ...; xn se presenta fn veces, y siendo f1 + f2 + ... + fn = N, entonces la media es:

Ejemplo 1: La media aritmética del conjunto de datos {4, 4, 5, 6, 6, 6, 7} es

= 5,4

La media aritmética a veces dista mucho de los valores de la variable estadística.

Ejemplo 2: La media aritmética de {1, 10} es = 5,5 y se aleja de los datos.

Si la variable está agrupada en clases, se toma como valor para xi la marca de clase.

Clases Marcas de Frec. (fi) xi • fi

clase (xi)

[0, 2) 1 3 3

[2, 4) 3 8 24

[4, 6) 5 4 20

N = 15 47

Por tanto, la media es: = 3,13

69 Calcula la media para el siguiente conjunto de datos: {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1}

70 En un examen un tanto peculiar 10 alumnos han sacado un 10 y otros 10 alumnos han sacado un 0. ¿Cuál es la media de ese examen? ¿Representa esa media de forma adecuada lo que ha ocurrido?

71 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 53.

72 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 54.

73 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 55.

74 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 56.

Medidas de dispersión: Rango y desviación típica

La media aritmética no da información sobre la agrupación de los valores de una variable estadística. Observa que los siguientes valores tienen la misma media aritmética = 6; sin embargo, su distribución en torno a la media es muy diferente:

1 2 3 = 6 9 10 11

| | | | | | |

4 4,5 5 = 6 7 7,5 8

| | | | | | |

Para evaluar si los valores están distribuidos de forma uniforme en todo el rango o agrupados entre sí, se utilizan las medidas de dispersión:

- El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una variable estadística.

Ejemplo 1: El rango para los valores {1, 1, 2, 3, 5} es: 5 - 1 = 4

- La varianza de una distribución estadística de valores x1, x2, ..., xn con frecuencias absolutas respectivas f1, f2,... , fn es:

, siendo la media aritmética.

- La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza: s = + . Cuanto menor es la desviación típica, más agrupados están los valores en torno a la media. Para valores iguales, s = 0.

Ejemplo 2: Calcula la desviación típica de los valores: {2, 2, 4, 6, 6}.

La media es: = = 4

La varianza: s2 = = = 3,2

Y la desviación típica: s =  1,79

Es útil organizar los cálculos en tablas. Si la variable está agrupada en clases, se utilizan como valores las marcas de clase.

75 Calcula el rango y la desviación típica para el siguiente conjunto de valores: {1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, 3}

76 En tres exámenes de matemáticas, un alumno A ha obtenido las siguientes notas: 4, 6 y 8. En esos mismos exámenes, otro alumno B ha sacado: 2, 10 y 6. ¿Cuáles son las respectivas medias y desviaciones típicas?

77 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 53.

78 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 54.

79 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 55.

80 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 56.

Sucesos

Un experimento se denomina aleatorio cuando no se sabe de antemano qué resultado se va a obtener. El ejemplo típico es tirar un dado y mirar el resultado (todos los ejemplos que figuran a continuación se refieren a él).

- Se llama espacio muestral E al conjunto de los resultados posibles del experimento aleatorio.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio «tirar un dado y mirar el resultado», el espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- Se llama suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral.

Ejemplo 2: {1} = «sacar uno»; {1, 2} = «sacar menor que 3»; {2, 4, 6} = «sacar par»

- Se llaman sucesos elementales a los formados por un único resultado.

Ejemplo 3: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}

- Se llaman sucesos compuestos a los formados por dos o más resultados.

Ejemplo 4: {1, 2}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5, 6}, ...

- Se llama suceso seguro al formado por todos los elementos del espacio muestral. Se verifica siempre. En todo experimento aleatorio existe un suceso seguro.

Ejemplo 5: Dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es seguro que al lanzar un dado va a salir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6.

- Se llama suceso imposible () a aquel que nunca se va a dar. En todo experimento aleatorio existe un suceso imposible.

Ejemplo 6: Al lanzar un dado es imposible que salga el rey de oros.

- Se llaman sucesos incompatibles los que no se pueden dar simultáneamente.

Ejemplo 7: Los sucesos {1, 3, 5} y {2, 4, 6} son incompatibles: si sacamos un número impar no podemos sacar un número par.

- Se llama suceso contrario de un suceso A al suceso que se produce cuando no se da A.

Ejemplo 8: El suceso contrario de A = {1, 3, 5} es = {2, 4, 6}.

81 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda y mirar el resultado. Escribe:

a) El espacio muestral.

b) Todos los sucesos que pueden darse.

c) Los sucesos elementales.

d) El suceso seguro.

e) El suceso contrario a <<sacar cara>>.

82 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda dos veces y mirar el resultado. Escribe:

a) El espacio muestral.

b) Todos los sucesos que pueden darse.

c) Los sucesos elementales.

d) El suceso <<sacar al menos una cara>>.

e) El suceso contrario a <<sacar dos caras>>.

f) Un suceso incompatible con este Último.

83 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces y sumar los puntos obtenidos en cada tirada. Escribe:

a) El espacio muestral.

b) ¿Cuántos resultados distintos pueden darse?

c) Escribe el suceso <<sacar suma igual a 7>>.

d) ¿Son incompatibles los sucesos <<sacar más de siete>> y <<sacar dos números pares>>?

84 De una baraja española se coge una carta. ¿Cuál es el espacio muestral?

Sean los siguientes sucesos:

A = {sacar espadas} y B = {sacar figura}, escribe:

a) ¿Cuál sería el suceso contrario de A?

b) ¿Y el contrario de B?

c) ¿Cuántos resultados favorables hay para que se verifique A?

d) ¿Cuántos para que se verifique B?

e) ¿Son A y B incompatibles?

85 En una bolsa hay dos bolas blancas y dos bolas negras. Consideremos el experimento aleatorio consistente en sacar una bola, ver su color, volver a meter la bola en la bolsa y repetir el proceso.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?

Sea A el suceso <<sacar al menos una bola negra>>.

c) ¿Cuántos casos favorables hay en la realización de este suceso?

d) Escribe un suceso incompatible con él.

Probabilidad. Regla de Laplace

La probabilidad de que se verifique un suceso A al realizar un experimento aleatorio viene dada por la regla de Laplace:

p(A) =

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0. Cualquier probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1.

Ejemplo 1: Calcula la probabilidad de sacar un oro al extraer una carta de la baraja española.

El número de casos posibles es 40 y el número de casos favorables es 10.

p(A) = = 0,25

La probabilidad del suceso contrario de A es p( ) = 1 - p(A).

Ejemplo 2: La probabilidad de extraer de una baraja española una carta que no sea oros es 1 - 0,25 = 0,75.

Un suceso intersección de los sucesos A y B, A n B, es el que se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B. Si A  B =  se trata de sucesos incompatibles.

Ejemplo 3: {1, 3, 4}  {1, 4, 5} = {1, 4}

Un suceso unión de sucesos A y B, A  B, es el suceso que se verifica cuando se verifica A o se verifica B.

Ejemplo 4: {1, 3, 4}  {1, 4, 5} = {1, 3, 4, 5}

La probabilidad de la unión es: p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B). Si A y B son incompatibles, p(A  B) = p(A) + p(B).

86 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga par.

87 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número mayor que 4

88 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número primo.

89 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la misma cara en ambos lanzamientos?

90 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos una cara?

91 Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos tiradas sea 7? ¿Y de que sea 8?

92 Sacamos una carta de una baraja española. Consideremos los siguientes sucesos:

A = {sacar espadas}, B = {sacar figura} y C = {sacar as}. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, A  B, A  C, B  C, A  B, A  C, B  C y A  B  C

93 Una urna contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea roja o amarilla. b) No sea amarilla. c) Sea amarilla o verde.

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