Funciones

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

Donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia trigonométrica:

La misma determina y, excepto por su signo:

Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.

Una función algebraica de n variable es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:

Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.

Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,...,xn). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces. En las funciones algebraicas se ubican las siguientes funciones:

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

donde es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:1

Si p(x) es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es una función polinomial p : R → R que asigna a cada punto x ∈ R el valor p(x) ∈ R.

Funciones polinómicas básicas

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado Nombre Expresión

0 función constante

y = a

1 función lineal

y = ax + b es un binomio del primer grado

2 función cuadrática

y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado

3 función cúbica

y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Ejemplo #1

f(x) = 3x5 − x2 + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadrática

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax2 + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si $f$ es una función polinomial y para $a<b$, entonces $f$ toma todo valor entre $f(a)$ y $f(b)$ en el intervalo $[a,b]$.

FUNCIONES IRRACIONALES

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

Donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x)

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