Funciones

FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota Domi f = R (- ∞, + ∞ )

RANGO DE UNA FUNCION.

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Dominio Rango

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

 Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A  B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

 Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva, entonces su inversa f – 1 es también una función y además biyectiva

Ejemplo:

 Función Idéntica: se llama función idéntica a la función f que hace corresponder a todo elemento del dominio e mismo elemento.

Ejemplo: f: A  A

A A

F

Quedando definida por f(x) = x. f(1)= 1, f (3)= 3 , f (5)= 5

 Función Constante: una función f: A  B se dice que es constante si a cada elemento de A se asigna un mismo elemento B. También puede decirse que el conjunto de imágenes consta de un solo elemento. F (x)= k

A B

f

La función es constante porque el elemento a de B es única imagen de todos los elementos de A. nótese que f(2)=a f(4)=a f(5)=a

Si lo escribimos en forma de pares ordenados se tendrá: f= {(2,a), (4,a), (5,a)}

 Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

 Función Afín:

a función afín es del tipo:

y = mx + nL

m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

 Funciones logarítmicas

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a  0; a  1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N  0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:

logaN = x

y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N

(Notación exponencial).

Notación logarítmica Notación exponencial

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