Funciones

FUNCION

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

TIPOS DE FUNCIONES

 FUNCIONES ALGEBRAICA

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación donde lo coeficientes ai (x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

 FUNCIONES explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x – 2

 FUNCIONES IMPLÍCITAS

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

 FUNCIONES POLINÓMICAS

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +••• + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

 FUNCIONES POLINÓMICA DE PRIMER GRADO

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo(a menudo un cuerpo).

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

 FUNCIONES TRASCENDENTES

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 FUNCIÓN CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente.

El criterio viene dado por un número real.

La función constante es del tipo:

y = n

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

 FUNCIÓN LINEAL

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

 FUNCIÓN IDENTIDAD

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

 FUNCION AFIN

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

 FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c (0,c)

 FUNCIONES RACIONALES

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma :

Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1 Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de varias variables.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

.

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

 FUNCIONES RADICALES

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Ejemplos

 FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE PAR

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.

 FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2

 FUNCIÓN MANTISA

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

f(x) = x - E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

 FUNCIÓN SIGNO

la función signo es una función matemática especial, una función definida a trozos, que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x), y no debe confundirse con la función seno (sen(x) o bien sin(x)).

f(x) = sgn(x)

 FUNCION VALOR ABSOLUTO

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Ejemplos

1.

D =

2 .

D =

 FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llamafunción exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

x y = (½)x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Dominio: .

Recorrido: .

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a > 1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

 FUNCIÓNES LOGARÍTMICAS

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Ejemplos

x

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

• PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Función seno

f(x) = sen x

Dominio:

Recorrido: [−1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: sen(−x) = −sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Dominio:

Recorrido: [−1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Par: cos(−x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Impar: tg(−x) = −tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Función secante

f(x) = sec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Par: sec(−x) = sec x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: cosec(−x) = −cosec x

...