Geometria euclidiana

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

MÓDULO I

CURSO: 1ER. AÑO.

GEOMETRÍA PREHELÉNICA.

1. Los súmeros y los babilonios.

Alrededor de 2600 años antes de Cristo, un ignoto habitante de la Mesopotamia asiática grabó con su escritura cuneiforme, sobre una tablilla de barro, el siguiente texto:

Sesenta es la circunferencia, dos es la flecha. Hallar la cuerda.

El doble de dos es cuatro. Quite cuatro a veinte, obtiene dieciséis. El cuadrado de veinte es cuatrocientos; el cuadrado de dieciséis es doscientos cincuenta y seis. Quite doscientos cincuenta y seis de cuatrocientos: obtiene ciento cuarenta y cuatro. Halle la raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro. Doce, la raíz cuadrada, es la cuerda.

Tal es el procedimiento.

Trate de interpretar el texto utilizando un dibujo.

Esto significa que en el tercer milenio antes de Cristo, el hombre había logrado reconocer varias propiedades geométricas. ¿Cuáles eran?

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

El análisis de algunas otras tablillas permite asegurar que, en efecto, las anteriores junto con muchas otras propiedades fueron bien conocidas por súmeros y babilonios en épocas muy lejanas. Las tablillas, en cambio, no nos permiten conjeturar cuál fue el método que utilizaron para llegar a descubrir estas propiedades y tampoco si las demostraron o no.

En general, los historiadores están de acuerdo en suponer que para la aceptación de las propiedades se basaron en procedimientos empíricos. Ello explicaría que en algunos casos las fórmulas o procedimientos permitiesen  obtener resultados meramente aproximados.

Ya hemos visto que tomaban π = 3. Veamos otro ejemplo, para calcular el área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d, en ese orden, utilizaban la fórmula:

A= (a +c)(b +d)

    4

Vamos a aplicarla para el cálculo del área de un rectángulo y de un rombo.

Explique qué sucedió.

Intente demostrarla teniendo en cuenta que:

• la demostración debe ser para todo cuadrilátero.
• la fórmula que encuentre debe ser comparada con la de los babilonios, de modo que el área debe expresarse en función de los lados.
• sus conocimientos de trigonometría lo ayudarán, los súmeros no los poseían.

Entre otros conocimientos geométricos que tenían estos pueblos del período 2200 al 2000 AC, podemos mencionar: fórmulas para la obtención del área de rectángulos, triángulos y trapecios; fórmulas para el volumen del paralelepípedo rectángulo, del cilindro y del tronco de pirámide.

2. Los egipcios.

También los egipcios se interesaron por el cálculo del volumen del tronco de pirámide de base cuadrada. Es por esta razón que lo invitamos nuevamente a investigar:

a) En el papiro que hoy llamamos de Moscú, del segundo milenio A.C., se encuentra el siguiente problema:

Si dices una pirámide truncada es de 6 de altura, 4 de base y 2 en lo alto. Toma el cuadrado de 4 que es 16. Toma el doble de 4 que es 8. Toma el cuadrado de 2, resulta 4. Suma todo, el 16, el 8 y el 4, resulta 28. Toma un tercio de 6. Resulta 2. Toma 28 dos veces, resulta 56. Ved, es 56. Lo hallaste bien.

Le pedimos que:

• interprete el problema.
• escriba la fórmula correspondiente.
• verifique su exactitud.

b) En el papiro Rhind, del siglo XVII A.C. pero que el copista dice haber tomado de otro anterior (siglo XIX A.C.) se encuentra la siguiente regla para calcular el área del círculo:

Tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo.

Le pedimos que:

• escriba la fórmula correspondiente.
• calcule el valor que los egipcios asignaban a π.

El estudio de los trabajos de los súmeros-babilonios y de los egipcios muestra que los conocimientos matemáticos prehelénicos poseen las siguientes características:

• En general los resultados se obtienen por procedimientos empíricos.
• Las soluciones son aproximadas.
• Las situaciones surgen de problemas concretos y de índole práctica.
• El grado de abstracción  no es muy elevado.
• La justificación de los resultados no se obtiene por deducción sino por la evidencia sensible.
• No abundan las generalizaciones.
• Casi siempre los guía un fin utilitario.
• No interesan los por qué sino los cómo.

Si bien estas características no son estrictamente las que hoy asignamos a la ciencia, no es justo medir las actividades de estos pueblos con nuestros patrones actuales.

Al contrario, estamos seguros de que los ejemplos señalados habrán mostrado el extraordinario esfuerzo realizado por aquellos lejanos antecesores. Mucho podemos aprender de ellos.

3. Thales.

El nombre de Thales está asociado al concepto de semejanza. Sabemos muy poco sobre Thales de Mileto. Vivió en el siglo VI A.C. y tradicionalmente se lo considera el introductor en la Geometría del método deductivo, el cual caracterizará desde entonces a toda la Matemática.

En nuestra enseñanza llamamos teorema de Thales al que en algunos textos se demuestra de la siguiente manera:

Se considera un segmento cualquiera x pero tal que esté contenido un número entero de veces en op y un número entero de veces en pq, por ejemplo:

m veces en op

n veces en pq

En consecuencia:

op= mx

pq= nx

De donde:    op/pq=mx/nx

                   op/pq=m/n    (1)

Por los puntos de división que resultan en los segmentos op y pq al transportar el segmento x, se trazan paralelas a las paralelas A,B y C dadas, que determinan sobre la transversal T’ segmentos iguales entre sí que llamaremos z.

...