Geometria No Euclidiana

Geometría no euclidiana

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant, formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard.

Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.

La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimación de las fuerzas vivas" (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma:

Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.

Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayor que 3.

Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).

Geometría hiperbólica

A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).

La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

Geometría elíptica

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto resulta del espacio resulta indistinguible de cualquier otro.

Geometría riemanniana

A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas eso significa que algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura.

Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizada por unos valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanninana general el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.

Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividad

Basándose en las ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.

Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: que la Geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio, y que su estructura geométrica global tiene curvatura.

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_euclidiana

Historia

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