GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA EN LA ARTQUITECTURA.

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA EN LA ARTQUITECTURA.

I.         MARCO TEORICO CONCEPTUAL.

A.         Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier sistema formal de geometría cuyos postulados y proposiciones difieren en algún asunto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos.

B.         Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de geometría que no cumplen el quinto postulado de Euclides, el que establece que dos rectas paralelas son equidistantes.

C.         En los modelos geométricos hiperbólicos (geometría hiperbólica), dos rectas paralelas son divergentes; y en modelos geométricos elípticos (geometría elíptica), no existen líneas paralelas que pasen por un punto exterior.

D.         La geometría euclidiana se fundamenta en la noción de "plano euclidiano". El equivalente en geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son circunferencias (por ejemplo la línea del ecuador o los meridianos del globo terráqueo), y puntos opuestos uno del otro son identificados (considerados ser el mismo). La pseudoesfera tiene la curvatura apropiada para modelar la geometría hiperbólica.

E.         No existe un solo sistema de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres formulaciones 1​ de geometrías:

1.         La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero (es decir se supone en un espacio plano por lo que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo da siempre 180°.).

2.         La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es inferior a 180°).

3.         La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°).

II.         MARCO REFERENCIAL.

A.          Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos.

B.         Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

“ 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.”

C.         Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, muchos geómetras intentaron deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta).

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