Elementos de la Geometría Euclidiana

Elementos de la Geometría Euclidiana.

Introducción.

La Geometría es un sistema matemático que normalmente se relaciona con puntos, líneas, superficies y sólidos. Todos los sistemas matemáticos están basados en elementos indefinidos, relaciones supuestas, afirmaciones no probadas (postulados y axiomas), y afirmaciones demostradas (teoremas). Diferentes juegos de suposiciones dan lugar a diferentes geometrías.

La Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formas geométricas y la medida de su extensión.

El estudio de la geometría es esencial para la preparación de ingenieros, científicos, arquitectos, y aun del hombre común. Los carpinteros, maquinistas, hojalateros, cortadores de piedra, artistas y dibujantes también aplican los conceptos de la geometría en sus respectivos trabajos.

Debido a la diversidad de aplicaciones en el avance de la ciencia y la tecnología, la geometría es uno de los pilares más sólidos para el estudio de la matemática.

Desarrollo histórico.

Las primeras figuras geométricas aparecieron hace 15000 años en dos formas: prácticas y decorativas; tal como formas de edificios y alfarería, pinturas de la cueva, y decoraciones en alfarería. La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geos para "Tierra" y metron para "medida." En este contexto la geometría se usó originalmente por lo menos hace 5000 años por agrimensores egipcios que trataron de restablecer los límites de campos que fueron borrados por el inundamiento anual del Río Nilo.

Previo al trabajo (600 a.C.) de los filósofos tempranos griegos, la geometría constó de reglas que produjeron resultados útiles, aproximados--pero no siempre exactos para las normas modernas. Informes antiguos indican que Tales de Mileto desarrolló los primeros teoremas generales para la geometría esta ahora en disputa. Pitágoras de Samos trató de explicar todo los aspectos del universo en cuanto a contar números, que frecuentemente representaba por juegos de objetos relacionados con formas geométricas. Por ejemplo, había los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15. . . , (1/ 2) n (n+ 1); números al cuadrado 1, 4, 9. . . , [nn]; y así sucesivamente. Las Magnitudes (medidas de cantidades que no se pueden representar por números calculables) fueron representadas por longitudes de segmentos de la línea. Los segmentos de línea se usaron para desarrollar una álgebra geométrica de magnitudes. Los procedimientos geométricos correspondiente a la mayor parte de las leyes usuales del álgebra se desarrollaron al resolver las raíces positivas de ecuaciones lineales y cuadráticas con coeficientes positivos.

Platón dio énfasis a geometría en su Academia y usó el poliedro regular para explicar los fenómenos científicos del universo. Aristóteles, un alumno de Platón, desarrolló las leyes de razonamiento lógico. Las matemáticas enseñadas en la Academia de Platón se estructuraron por Euclides en un sistema lógico. Por 2000 años se asumió ser una geometría verdadera la geometría de los Elementos de Euclides. A pesar de las dudas sobre el postulado paralelo de Euclides, todo intenta derivarlo de sus otros cuatro postulados o desarrollar otras geometrías a menos que eran triviales hasta el siglo XIX. La tremenda productividad de los matemáticos en los siglos XIX y XX ha llevado al desarrollo de varios tipos de geometrías, algunas de las que se identifica a continuación.

Tipos de Geometrías.

Geometría Euclidiana.

La geometría más común es la Geometría Euclidiana, que aparece para explicar el universo en el que vivimos. Se encuentran aplicaciones de él en casi todos los aspectos de la actividad diaria así como en el desarrollo de todos los productos industriales y científicos. Uno de sus postulados asumen la existencia de una y solo una línea de la que es paralela a una línea dada m y contiene un punto dado que no es un punto de la línea m. Las dos geometrías no Euclidianas se desarrollaron como un esfuerzo por demostrar el postulado paralelo de Euclides y se basa en alternativas a él.

Otros Acercamientos.

Se puede visualizar a la geometría esférica, la geometría de puntos en una esfera, fácilmente. Porque la Tierra es aproximadamente esférica en su forma, esta geometría tiene aplicaciones prácticas en navegación y topografía. La superficie de una esfera dada es un espacio bidimensional porque cada punto se localiza por dos coordenadas. Por ejemplo, los puntos o posiciones sobre la Tierra se identifica por su latitud y su longitud. En esta superficie bidimensional se mide la distancia más corta entre dos puntos a lo largo de una línea esférica llamada un Gran Circulo, este es, un círculo obtenido como la intersección de la esfera y un plano que contiene el centro de la esfera. La Geometría esférica es un estudio de puntos y líneas esféricas bajo las suposiciones impuestas por considerar las superficies esféricas bidimensionales como una parte del espacio Euclidiano tridimensional.

Los ángulos formados por líneas esféricas tienen las mismas medidas como los ángulos formaron por los planos que determinan las líneas esféricas en el modelo. La Trigonometría Esférica es el estudio de triángulos en una esfera, o triángulos esféricos.

Las transformaciones de un plano Euclidiano dentro de sí mismo se consideran en cuanto a traslaciones (movimientos corredizos) y rotaciones (sobre un punto). Sólo en cuatro geometrías bidimensionales existen estos dos tipos distintos de transformaciones y tiene líneas así como segmentos de la línea tienen las propiedades de intervalos de números reales. Si una geometría requiere que dos líneas distintas que tengan como máximo un punto común, entonces se excluye geometría esférica, y las únicas geometrías posibles son la geometría Euclidiana y las dos Geometrías No Euclidiana (la geometría elíptica y la geometría hiperbólica). Como en el caso de la geometría esférica, cada una de las geometrías No Euclidianas pueden ser estudiadas por usar un modelo en un espacio Euclidiano. Estos modelos y teoremas de la geometría Euclidiana se usan para derivar teoremas de geometría de cada una de las geometrías No Euclidianas. Cada uno de las tres geometrías (Euclidiana, elíptica e hiperbólica) es consistente si el juego de números reales lo es. También, cualquiera de las tres geometrías sería la geometría real del universo entero.

Las Coordenadas, que fueron utilizadas por primera vez por Apolonio de Perga para identificar puntos en una la sección cónica

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