Geometria

UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS

INTRODUCCIÓN

Para el estudio de la GEOMETRÍA se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener nuevas propiedades de ellos.

Las propiedades admitidas como válidas son los axiomas o postulados y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica matemática.

AXIOMAS Y DEFINICIONES

AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las propiedades que intuimos de ellos.

FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier subconjunto propio del espacio.

PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un punto pertenece a una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura.

PUNTOS COLINEALES (ALINEADOS): Dos o más puntos son colineales (alineados) si están en la misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados.

PUNTOS COPLANARES: Dos o más puntos son coplanares si están en el mismo plano. En caso contrario son no coplanares.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la cual ambos pertenecen, llamada “la recta AB”, ( ).

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (ABC).

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: Si una recta L y un plano  tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano .

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su intersección es una recta.

ORDEN EN LA RECTA

Para establecer el axioma de ordenación de la recta es necesario definir primero que es un conjunto linealmente ordenado y la relación “estar entre”:

CONJUNTO LINEALMENTE ORDENADO: Es un conjunto entre cuyos elementos se puede establecer la relación “preceder a ”, con las siguientes propiedades:

1. Dados dos elementos P y Q se cumple que “P precede a Q” ó “Q precede a P”.

2. Si “P precede a Q” y “Q precede a R” entonces “P precede a R”.

NOTA: La relación “preceder a” se puede cambiar por “seguir de”, “estar delante de” , “estar detrás de”, “estar antes de” “estar después de”.

RELACIÓN “ESTAR ENTRE”: Si P, Q y R son puntos alineados tales que “P precede a Q” y “Q precede a R”, entonces se dice que “Q está entre P y R” y se denota por “PQR” o “RQP”.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:

Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.

2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos puntos del mismo conjunto.

SEMIRRECTA: Si O es un punto de una recta L entonces se llama semirrecta de origen O al conjunto formado por el punto O y cada una de los conjuntos en que él divide a la recta, es decir:

1. O y todos los puntos de L que le preceden.

2. O y todos los puntos de L que le siguen.

Si O está entre A y B entonces las semirrectas obtenidas se llaman semirrectas opuestas.

SEGMENTO DE RECTA: El conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B se llama segmento de recta AB y se denota por .

Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, son las prolongaciones del segmento.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Toda recta de un plano separa a los demás puntos del plano en dos regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y de la misma región no la corta.

SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en él, un semiplano es el conjunto formado por la recta y cada una de las regiones en que ella divide al plano. La recta es el borde de cada semiplano y los semiplanos son semiplanos opuestos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO: Todo plano separa a los demás puntos del espacio, en dos regiones tales que:

1. Todo punto del espacio, exterior al plano, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos

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