INVESTIGACION OPERATIVA

Ejercicios resueltos de programación lineal

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

3Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Máquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3•0 + 1/2•0 ≤ 100

1/3•0 + 1/6•0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15•0 + 10•200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15•240 + 10•0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15•210 + 10•60 = 3 750 € Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

2Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

3Restricciones

P1 P2 Disponibles

Cuadernos 2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 400

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x,y)= 6.5 • 200 + 7 • 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 • 0 + 7 • 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 • 150 + 7 • 100 = 1 675 € Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

1Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

2Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

3Restricciones

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

4

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