Información básica acerca de las funciones

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.

Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de

sucesiones, al campo de las funciones.

Se inicia recordando el concepto de función y dando algunas nociones básicas sobre funciones,

para dar paso al estudio del límite de una función, cálculo de límites de funciones y continuidad.

En este tema la intuición juega un papel definitivo. Se ha procurado evitar en lo posible las

formalizaciones rigurosas, ya que muchas veces formalizar lo que intuitivamente está claro no

aporta más claridad.

De los tres conceptos que se estudian es este capítulo, funciones, límites y continuidad, el primero y el

último son muy sencillos de comprender.

Las funciones están presentes en la vida cotidiana: «espacio que recorre un móvil en función del

tiempo», «crecimiento de una planta en función del tiempo», «coste de cierto papel en función de la

cantidad», «aumento o disminución de la temperatura del agua en función del tiempo», ...

Una línea continua es una línea que no se corta, que no se rompe, que se puede dibujar en un papel sin

levantar el lápiz.

La representación gráfica de una función continua es una línea continua.

El concepto de límite de una función es algo más complejo, a pesar de explicarse como un paso

intermedio entre las funciones y la continuidad.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en

el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la

función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y

y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el

conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números

reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y

sólo un elemento y de R:

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

• El conjunto inicial o dominio de la función.

• El conjunto final o imagen de la función.

• La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto

imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número

real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número

siempre es positivo:

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la

imagen».

Ejemplo: cálculo de campos de existencia de una función

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