Ingeniero Comercial

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Etapas de una prueba de hipótesis:

Definir la hipótesis nula, Ho. Es el supuesto que se hace respecto al parámetro de la población. La hipótesis nula es generalmente una igualdad. Está determinada por el supuesto del investigador, por datos históricos o por un dato dado de la población.

Definir la hipótesis alterna, H1. La hipótesis alterna es la negación de la hipótesis nula si el problema es de dos colas. Si el problema es de una cola, la hipótesis alterna es una desigualdad “mayor que” o “menor que”. Se acepta la hipótesis alterna solamente si se rechaza la hipótesis nula, Ho.

Calcular el estadístico de prueba. El estadístico de prueba es z si la muestra es grande; es t si la muestra es pequeña y no se conoce la desviación estándar de la población.

Determinar el estadístico crítico. El estadístico crítico está en función del nivel de confianza (o del nivel de significancia) y es la frontera entre la región de aceptación y la región de rechazo.

Aceptar o rechazar la hipótesis nula. La hipótesis nula se acepta si el estadístico de prueba cae en región de aceptación. Se rechaza si cae en región de rechazo.

Conclusión. Es la respuesta a la pregunta del problema.

NOTA. El objetivo de una prueba de hipótesis es determinar si la diferencia entre el estadístico de una muestra y el parámetro de la población es significativa.

Para probar la hipótesis nula, se obtiene una muestra y la media muestral se compara con la media poblacional de la hipótesis nula. Si la diferencia es significativamente grande se rechazará la hipótesis nula; si la diferencia no es significativamente grande la hipótesis nula será aceptada.

Los datos muestrales sólo se utilizan para calcular el estadístico de prueba y no para plantear la hipótesis nula.

PALABRAS CLAVES PARA DETERMINAR SI UN PROBLEMA ES DE UNA O DOS COLAS

COLA IZQUIERDA

COLA DERECHA

DOS COLAS

Menor que

Inferior a

A lo más

Ha disminuido

Menos que

Mayor que

Superior a

Por lo

menos

Ha aumentado

Excede a

Más eficiente

Igual a

Aproximadamente

Diferente

Ha variado

Ha cambiado

Alrededor de

Más o menos

Promedio

PRUEBA DE HIPÒTESIS DE UNA SOLA MUESTRA PARA MEDIAS

Ejemplo.

En una universidad, el catedrático de matemática afirma que el promedio de las calificaciones de sus estudiantes es de aproximadamente 90. Se selecciona aleatoriamente una muestra de 12 estudiantes y se obtiene una media de 87 con una desviación estándar de 9. Haga prueba de hipótesis a un nivel de significancia de 5% para determinar si la afirmación del catedrático es verdadera.

Hipótesis Nula, Ho : µ = 90

Hipótesis Alterna, H1 : µ ≠ 90

Estadístico de prueba es “t” porque la muestra es pequeña. t= - 1.15

Para calcular el estadístico de prueba t, a la media muestral se le resta la media poblacional µ y se divide el resultado por el error estándar de estimación.

t = (87 – 90) / (9/√12) = - 1.15

Estadístico crítico “t crítico” = ± 2.201

Para determinar el t crítico, se busca en tabla t los grados de libertad gl = n – 1 = 12 – 1 = 11, α = 0.05 y dos colas.

Se acepta la hipótesis nula, Ho, porque el estadístico de prueba t = -1.15 cae en región de aceptación.

Conclusión. La afirmación del catedrático es verdadera.

Aceptar una hipótesis nula Ho, no prueba que sea cierta; simplemente, los datos no proporcionan evidencia estadística para rechazarla.

Ejemplo

El decano de la facultad de ingeniería piensa que el promedio de calificaciones, en una clase X, de los estudiantes de primer año es de 75. Se toma una muestra aleatoria de algunos estudiantes y se obtuvieron las siguientes calificaciones: 84, 65, 70, 80, 68, 56, 75, 90, 45, 72, 70, 78, 80. A un nivel de significancia de 10%, haga prueba de hipótesis para determinar si lo que cree el decano es correcto.

Ejemplo

El promedio de unidades defectuosas permitidas para una máquina es a lo más 12 unidades por día. En una muestra de 40 días se obtuvo una media de 15 unidades defectuosas con una desviación estándar de 7. Si la media no ha aumentado, sólo se hará limpieza y ajustes a la máquina; si la media ha aumentado, la máquina deberá ser desarmada y reparada. A un nivel de confianza de 96%, determine si la máquina debe ser limpiada o desarmada.

Nota:

Generalmente, la hipótesis nula es una igualdad.

En problemas de una cola, para determinar el valor de Zcrítico, al nivel de confianza se resta 0.50 y el resultado se busca en tabla de probabilidades normales.

Ejemplo

El precio promedio en el mercado de un televisor LCD de 40 pulg. es de Q5500. Se desea comprar uno de estos TV y se obtiene una muestra de precios en 35 centros distribuidores de estos productos y la media es de Q 6000 con una desviación estándar de Q650. Haga prueba de hipótesis a un nivel de confianza de 92% para determinar si el precio promedio ha aumentado.

Recordar que cuando el problema es de muestra grande y una cola, al nivel de confianza se resta 0.5 y el resultado se busca en tabla de probabilidades normales para obtener Z crítico.

Ejemplo.

Una empresa tiene 48 emple ados y el salario promedio semanal que se ha estado pagando es de Q950. De una muestra del salario de los trabajadores se obtienen los siguientes datos: 900, 850, 1000, 770, 1200, 800, 950, 920, 850, 975. Haga prueba de hipótesis a un nivel de confianza de 90% para determinar si el salario semanal promedio ha disminuido.

PRUEBA DE HIPÒTESIS PARA PROPORCIONES CON UNA MUESTRA

1. En años anteriores, la proporción de alumnos becados en una universidad ha sido de 25%. Se toma una muestra de 60 estudiantes de los cuales 18 son becados. A un nivel de confianza de 94% ¿se puede afirmar que la proporción de alumnos becados en la universidad ha aumentado?

1) Ho: p = 0.25

2) H1: p > 0.25

3) Estadístico de prueba Z = 0.85

4) Estadístico crítico Zcrítico = 1.555

5) Se acepta Ho porque el estadístico de prueba Z = 0.85 cae en región de aceptación.

6) Conclusión: La proporción de alumnos becados no ha aumentado.

2. La política de un banco ha sido dar el 45% de crédito a microempresarios. Este año, de un total de 1500 créditos se tomó una muestra de 80 créditos y 30 eran para microempresarios. A un nivel de confianza de 95%, se puede concluir que la proporción de créditos a microempresarios ha disminuido? B) ¿Si se pregunta si la proporción ha variado, la conclusión sería la misma?

3. Una empresa planea comercializar un nuevo producto si al menos al 40% del público le gusta. El departamento de mercadeo selecciona 500 personas y encuentra que 225 lo prefieren. Haga prueba de hipótesis para determinar si se debe comercializar el producto.

4. En un curso de estadística la media de calificaciones ha sido de 80. En una muestra se han obtenido las siguientes calificaciones: 75, 90, 82, 78, 96, 100. Haga prueba de hipótesis a un nivel de significancia de 10% para determinar si esa media ha cambiado.

5. El gerente de una empresa supone que el 60% de los empleados son graduados universitarios. Una muestra de 80 empleados revela que 49 tienen grado universitario. Se desea implementar una política de ingreso salarial si lo que el gerente supone es verdadero. A un nivel de significancia de 5% haga prueba de hipótesis para determinar si se debe aplicar la política de incremento salarial.

6. En un almacén, el porcentaje de pagos en efectivo ha sido de 30%. De 150 ventas de un día, se tomó una muestra de 60 y 21 fueron pagadas en efectivo. Para estimular estos pagos, la empresa implementará un plan de descuentos por pagos en efectivo si la proporción de este tipo de pagos ha aumentado. A un nivel de confianza de 92% determine si se debe implementar el plan de descuentos.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

Esta prueba de hipótesis se aplica cuando se quieren comparar las medias muestrales de dos poblaciones distintas.

En estas pruebas, la hipótesis nula Ho, es generalmente, que las medias poblacionales son iguales.

Ejemplo

En un curso X, de una muestra de 30 estudiantes de la sección A, se obtuvo una media de 70 con una desviación estándar de 15; de una muestra de 35 estudiantes de la sección B, se obtuvo una media de 75 con una desviación estándar de 12. Haga prueba de hipótesis a un nivel de confianza de 94% para determinar si el rendimiento de las secciones A y B son iguales.

µ1 = Media de calificaciones de la sección A

µ2 = Media de calificaciones de la sección B

1) Ho: µ1 = µ2 Las medias de las calificaciones de las secciones A y B son iguales.

2) H1: µ1 ≠ µ2 Las medias de las calificaciones de las secciones A y B no son iguales ( dos colas)

3) Estadístico de prueba es Z

σ1 - 2 = [(σ1)2/n1 + σ2)2/n2 ]1/2

= [(15)2/30 + (12)2/35 ]1/2 = 3.41

Z = (70 – 75) / 3.41 = - 1.47

Estadístico crítico, Zcrítico

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