Investigación de Carta de Smith.

Introducción

        La carta de Smith fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los laboratorios del teléfono de Bell. Phillip persistió en su trabajo, el diagrama desarrollado gradualmente con una serie de pasos. La primera carta rectangular fue limitada por la gama de datos que podría acomodar. En 1936 fue cuando él desarrolló un nuevo diagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta era una forma coordinada polar especial en la cual todos los valores de los componentes de la impedancia podrían ser acomodados. Las curvas del cociente constante de la onda de la situación, de la atenuación constante y del coeficiente de reflexión constante eran todos los círculos coaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores, no eran son lineales, pero eran satisfactorias.  Y la carta de  Smith es un tipo de nomograma, usado en ingeniería eléctrica e ingeniería de telecomunicaciones, que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga.

Desarrollo

La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una impedancia normalizada. Las impedancia normalizada +J barre todo el plano complejo. Allí, los lugares geométricos equi- y equi- son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario,1 respectivamente. Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión ΓL=u+Jv. [pic 5][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Sin embargo, como entre ambas variables complejas existe la relación

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si los valores de impedancia normalizada (, ) se expresan en función de ΓL: =  (u, v) y,los lugares geométricos rectilíneos equi- y equi-, en el dominio(,+),se transforman en circunferencias en el plano complejo de la variable (u+Jv). La Carta o Diagrama de Smith se obtiene, precisamente, trazando algunos de los lugares geométricos de  y  en el plano complejo de la variable u+Jv, utilizando como base la Ec. 2. [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Multiplicar en cruz:

(u+Jv)(+ 1 +J) =+J−1[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

igualar parte real y parte imaginaria

u(+ 1)−v=−1[pic 22][pic 23][pic 24]

v(+ 1) +u=[pic 25][pic 26][pic 27]

ordenar y factorizar los términos  y [pic 28][pic 29]

(u−1)−v=−(1−u)[pic 30][pic 31]

v+ (u−1)=−v[pic 32][pic 33]

con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez  y otra vez , ordenando los términos restantes en potencias descendientes de u y v , respectivamente [pic 34][pic 35]

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finalmente se procede a completar los cuadrados correspondientes en cada ecuación

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La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y reactancia normalizada. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros delas alineas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.

La carta de Smith es una solución grafica de  y  para realizar transformaciones en ambos sentidos, entre el coeficiente de reflexión r y la impedancia Z. La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0,72°) y la escala del coeficiente de reflexión se puede leer a una precisión de 0,02° con lo que se demuestra que es absolutamente suficiente para la mayoría de los propósitos.[pic 40][pic 41]

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