LEYES FORMALES DE LA ADICIÓN.

En éste capítulo trataremos sobre las cuatro operaciones (Adición, Sustracción, Multiplicación y División), propiedades, reglas, teoremas y aplicaciones.

La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.

Esta operación tiene el siguiente procedimiento:

LEYES FORMALES DE LA ADICIÓN:

I. Ley de clausura: “La suma de números naturales, es otro número natural”.

Por lo que se dice que el conjunto de los naturales es un conjunto cerrado con respecto a la adición.

II. Ley de uniformidad (Igualdad): “Si se suman miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado será otra igualdad”.

III. Ley Asociativa : “En una suma de varios términos, se puede agrupar varios sumandos en el orden que sea, para obtener sumas parciales, la suma total no varía”

, cumple:

IV. Ley conmutativa: “El orden de los sumandos, no altera la suma tota”

, se cumple:

V. Ley Modulativa: “Llamado también del elemento neutro; El cero es el módulo de la adición ya que cualquier número sumado con el cero, resulta el mismo número”.

Se cumple:

La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.

Esta operación tiene el siguiente procedimiento:

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN:

I. La suma de todos los términos de una sustracción resulta el doble del minuendo:

Ejemplo en la diferencia de ; resulta que:

II. Ley del inverso aditivo: Para todo número existe un número , que llama inverso aditivo de , que al ser operado con la suma resulta el módulo de la adición ( cero ):

Ejemplo:

El inverso aditivo de 8 es: (- 8 )

El inverso aditivo de es:

El inverso aditivo de es: 5

III. La sustracción NO es una operación de Clausura respecto a los números naturales, ya que al restar dos números naturales no siempre el resultado es una número natural:

Ejemplo:

; no es un número natural.

IV. Si a un número de dos cifras se le resta el mismo número de dos cifras pero con las cifras en orden inverso resulta:

, donde

Esta propiedad no cumple para los números capicúas.

V. Si a un número de tres cifras se le resta el mismo número de tres cifras pero con las cifras en orden inverso resulta:

, donde

Esta propiedad no cumple para los números capicúas.

Nota: Las dos últimas propiedades cumplen para cualquier sistema de numeración, con sus respectivas reglas de lectura y escritura.

Se llama complemento aritmético de un número, a lo que le falta a éste número para formar una unidad del orden inmediato superior.

Trataremos dos formas para calcular el complemento aritmético:

I. Método tradicional:

Ejemplos:

II. Método práctico:

Se resta de la primera cifra significativa de la derecha de la base en la que esta el número y las demás cifras de la base menos uno.

Ejemplos:

1)

2)

La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 • 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones.

A los términos A y B, también se les llama factores.

LEYES FORMALES DE LA MULTIPLICACIÓN:

I. Ley de uniformidad:

“Si se multiplican miembro a miembro dos o mas igualdades, el resultado es otra igualdad”.

II. Ley de clausura:

“El producto P de dos números naturales, es otro número natural”

III. Ley conmutativa:

1“El orden de los factores no altera el producto final”

IV. Ley distributiva:

“El producto de una suma de varios números por un número “n”; es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando cada sumando por el número, así:

V. Ley asociativa :

“Cuando se tienen varios factores, se pueden agrupar de cualquier forma, resultando productos parciales, que al multiplicarlos no altera el producto total”.

VI. Ley modulativa:

“Llamado también del elemento neutro, se dice que el “1” es elemento neutro o módulo de la multiplicación, por que al ser operado con cualquier valor, éste valor no se altera”

VII. Ley del inverso multiplicativo ó reciproco de un número:

“se dice que para todo número (excepto el cero) existe un número , tal que al ser operado con la multiplicación resulta el módulo de la multiplicación:

Ejemplo:

El inverso multiplicativo o reciproco de: 8 es:

El inverso multiplicativo o reciproco de: es:

El inverso multiplicativo o reciproco de: es:

El inverso multiplicativo o reciproco de: es:

División, es una operación opuesta a la multiplicación, en la que consiste averiguar las veces que una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor; para la cual se utiliza el signo ; existen dos tipos de división:

I. DIVISIÓN EXACTA:

Se llama división entera a la división que no tiene residuo, y éste residuo se representa por el cero:

Donde:

Algoritmo de la división:

II. DIVISIÓN INEXACTA:

Se llama división inexacta a la división que deja un residuo, además existen dos tipos de divisiones inexactas:

 División inexacta por defecto.

 División inexacta por exceso.

A) DIVISIÓN INEXACTA POR DEFECTO:

Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, más el residuo resulta el dividendo.

Donde:

Algoritmo de la división:

Ejemplo :

Donde:

Algoritmo de la división:

B) DIVISIÓN INEXACTA POR EXCESO:

Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, menos el residuo resulta el dividendo.

Donde:

Algoritmo de la división:

Ejemplo :

Donde:

Algoritmo de la división:

LEYES FORMALES DE LA DIVISIÓN

I. El residuo ( por defecto o por exceso ) es un número que es mayor que cero y menor que el divisor:

II. El residuo máximo en cualquier división es siempre una unidad menor que el divisor:

III. El residuo mínimo en cualquier división es siempre uno:

IV. La suma del residuo por defecto más el residuo por exceso siempre es igual al divisor:

Problema 01

Encontrar las cuatro últimas cifras del resultado de efectuar la siguiente suma:

(60 sumados)

a) 4050 b) 4150 c) 4250

d) 4350 e) 4450

Solución:

Ordenando los sumandos. Para encontrar cuatro

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