La Recta La Circunferencia La Elise Y La Hiperbole

MATEMATICAS

TRABAJO DE INVESTIGACION SOBRE:

LA RECTA

LA CIRCUNFERENCIA

LA ELIPSE

LA HIPERBOLA

LA RECTA

La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una línea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar ni principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características pero esta representando el orden de los numero.

CARACTERISTICAS DE LA RECTA

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

PENDENTE Y ORDENDA AL ORIGEN

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada m es:

FORMA SIMPLIFICADA DE LA ECUACION DE LA RECTA

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACION DE LA RECTA (ECUACION SIMETRIA)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

ECUACION NORMAL DE LA RECTA (PRIMERA FORMA; ECUACION DE HESSE)

Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

Con el número x podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.

ECUACION NORMAL DE LA RECTA (SEGUNDA FORMA)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación:

Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.

Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente negativa.

Cuando la recta es horizontal, la pendiente de la recta es 0.

Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.

ECUACIONES DE LA RECTA

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

ECUACION DE LA RECTA (VERTICAL)

ECUACION DE LA RECTA (HORIZONTAL)

ECUACION DE LA RECTA (PUNTO PENDIENTE)

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente.

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot.

La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma:

ECUACION DE LA RECTA (PENDIENTE- INTERSECCION)

Si se conoce m (pendiente) y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la recta, :

Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto.

Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0, y0).

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

Y ha de pasar por el punto (x0, y0), luego tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0, y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cuales quiera.

Distancia entre puntos

- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final.

- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:

Demostración:

PUNTO MEDIO DE LA RECTA

RECTAS PARALELAS

Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente

RECTAS PERPENDICULARES

Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1

ANGULO ENTRE RECTAS

MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio

Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de

Un plano que equidista de otro punto fijo y coplanario llamado centro.

A la distancia entre cualquiera

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