La función exponencial

La función exponencial

Es una función de la forma  f(x) = ax  donde  a > 0 y a ≠ 1. Puede ser creciente y decreciente de acuerdo al valor que tome la a. [pic 1]

Sus principales características son:

1. Siempre pasa por el punto (0,1) y (1, a).
2. Es una función inyectiva ya que a cada elemento del dominio le corresponde únicamente un elemento del rango.
3. Su dominio son todos los números reales (Df = R), pero su codominio va desde (0, ∞) debido a que Y siempre tomará un valor positivo sin incluir al 0.

La ecuación exponencial

Se denomina ecuación exponencial a toda igualdad en donde incógnita esté como exponente. Para solucionarla se utiliza la ley de los exponentes (an = am entonces n = m)  o la aplicación de logaritmos. A continuación desarrollaremos un ejemplo con el método de los exponentes.

3X + 27X+2 = 93X   

Lo primero es analizar si las bases se pueden expresar en términos de una, en este caso 27 y 9 son respectivamente 33  y 32.

Procedemos a reemplazar esos valores en la ecuación.

3x + 33(X+2) = 32(3X)   

Operamos los productos en los exponentes.

3x + 33x+6 = 36x            (3)

Aplicamos la ley mencionada (an = am entonces n = m) y obtenemos una ecuación de primer grado.

 x + 3x + 6 = 6x        4x + 6 = 6x        6 = 6x – 4x     6 = 2x    x = 6/2    x=3

Para verificar el resultado sustituimos el valor de x en la tercera ecuación.

33 + 33.3 + 6 = 36.3      33 + 315 = 318     318 = 318  

Aplicaciones

La función exponencial se usa principalmente para calcular el crecimiento demográfico, el interés compuesto  y en la modelación de algunas situaciones científicas como el decaimiento radioactivo y el crecimiento bacteriano.

Ejemplo:

Se depositan $1000 en la caja de ahorros de un banco. La cuenta tiene dos opciones: obtener un interés anual del 4% u obtener un interés semestral del 3%.

1. ¿Cuál de las opciones es más conveniente al cabo de un año y al cabo de dos años?

1. ¿Cuánto tiempo se demora en duplicar lo invertido en las dos opciones?

Formula del interés compuesto:   C = p (1 + r/n) nt

C = Capital obtenido     p = Capital invertido      r = tasa de interés anual

n = Número de veces en que calcula el interés en un año.

t = Cantidad de años.

1. Con el interés anual: 4% = 4/100 = 0,04

C = 1000 (1 + 0,04)1.1       C = 1000(1,04) = $ 1040

Al cabo de dos años:

C = 1000 (1+0,04)1.2    C = 1000 (1,04)2    C = 1000 (1,08) = $ 1080

Con el interés semestral: 3% = 3/100 = 0,03

C = 1000 (1+0,03/2)2.1   C = 1000 (1,015)2   C = 1000 (1,030) = $ 1030

En dos años:

C = 1000 (1+0,03/2)2.2     C = 1000(1,015)4     C = 1000 (1,06) = $ 1060

En ambos casos es más efectiva la opción del interés anual.

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