LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Capítulo 8

LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

42.-Repaso

Para comenzar definimos como sigue el símbolo  para  sólo si  es un número natural, o sea, un entero positivo:[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Esta definición obviamente no asigna significado alguno al símbolo  si  no es un entero positivo.[pic 8][pic 9]

De la definición anterior, se pueden deducir con facilidad las siguientes leyes que gobiernan el uso de exponentes:

1. [pic 10]
2. [pic 11]
3. [pic 12]
4. [pic 13]
5. [pic 14]

Ahora deseamos extender nuestra definición de modo que podamos dar un significado a símbolos tales como   El principio que nos dirigirá al definir estos símbolos es que las reglas que gobiernan es uso de de los exponentes enteros positivos se aplican en todos los casos.  De esta manera, si deseamos que [pic 15]

[pic 16]

debemos asignar el valor uno al símbolo  si .  No asignamos aquí significado alguno al símbolo .  Considerando ahora los exponentes negativos, si deseamos que [pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

debemos estar de acuerdo en que [pic 21]

Similarmente, para exponentes fraccionarios, si deseamos que

[pic 22]

estamos obligados a interpretar al símbolo  como la raíz de .  A fin de evitar ambigüedades, podemos restringir el significado de este símbolo a la raíz positiva.  En general definimos el símbolo  como la raíz q-ésima de .^[1]  El lector estará de acuerdo en que   es -ésima potencia de esta raíz.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Así, asignamos un valor definido a  si  a toos los valores racionales de .  Supondremos, sin intentar justificar esta suposición, que también corresponde un valor definido a  si  es un número irracional.  Entonces,  representa un número definido entre  y .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

43.- La función exponencial  para [pic 37][pic 38]

Las definiciones que se acaban de discutir, junto con la suposición que se ha hecho acerca de los exponentes irracionales, dan un valor definido a  para todo valor real de ; esto es, la función [pic 39][pic 40]

[pic 41]

es una función que asigna un solo valor a cada valor de .  Es una función continua y su gráfica (si ) tiene en general la forma mostrada en la Fig. 49.  Es evidente a partir de la gráfica que la derivada de esta función en todos los puntos es positiva y crece si  crece.  En breve intentaremos calcular su derivada.[pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

Fig. 49

44.- La función logarítmica [pic 46]

La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial; esto es, si

[pic 47]

entonces

[pic 48]

Es evidente que la gráfica de esta función (Fig. 50) es la misma que la correspondiente a   con los ejes intercambiados.  La función está definida solamente para valores positivos^[2] de , es de un solo valor^[3] para cada valor de , continua, y creciente en todos sus puntos; esto es, su derivada es positiva para todos los valores de  para los cuales la función está definida.  Antes de intentar calcular su derivada, debemos introducir un límite importante que surgirá en el proceso.[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Fig. 50

45.- El número [pic 54]

Consideremos la función

[pic 55]

y pensemos que  se hace cada vez más pequeña (en valor absoluto) y se aproxima a cero.  Evidentemente, el exponente se hace numéricamente cada vez más grande a medida que la cantidad  se aproxima a .  ¿Qué sucede al valor de la función?  La tabla siguiente responde parcialmente a esta pregunta.[pic 56][pic 57][pic 58]

Esta tabla sugiere que, aunque la función Valor de   no está definida cuando  es igual a cero, su límite cuando  tiende a cero puede existir; esto es, probablemente hay una constante en la vecindad de  al cual los valores de  están suficientemente cercanos para todo valor de  que esté suficientemente cercano a  pero sea distinto de .[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

Suponiendo que este límite existe, podemos intentar calcularlo como sigue: hágase que  tienda a cero tomando los valores indicados en la siguiente secuencia:[pic 71]

[pic 72]

Para cada uno de estos valores de , el exponente   es un entero.  Usando el teorema del binomio, tenemos, para cualquier valor de  que corresponda a la secuencia indicada,[pic 73][pic 74][pic 75]

[pic 76]

Si a  se le permite aproximarse a cero a través de la secuencia de valores indicada anteriormente, esta expansión es válida para todo valor de ; el número de términos en ella crece indefinidamente a medida que .  Esto sugiere que el límite requerido puede aproximarse con cualquier grado de precisión haciendo que  sea cero en la expansión y tomando el suficiente número de términos que resulta de la serie infinita.  Esta conclusión es válida aunque no estamos en condiciones de proporcionar en este momento una justificación rigurosa de ella.  Denotando el valor del límite por el símbolo , tenemos[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82]

Las funciones correspondientes  y  son, por supuesto, casos especiales de las funciones  y  respectivamente.  Se verá que estas funciones juegan un papel muy importante en muchas aplicaciones del cálculo.[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

Los logaritmos con base  reciben el nombre de logaritmos naturales.  Por motivos que se pondrán de manifiesto más adelante, serán los de uso casi exclusivo en esta obra.  En este texto el símbolo “”, sin indicación de la base, significará siempre el logaritmo natural de .  Algunos autores prefieren usar “” para este propósito.[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

PROBLEMAS

1. Demuestre lo siguiente:

1. que  si  y  son enteros positivos.[pic 91][pic 92][pic 93]
2. que  si  y  son enteros positivos.[pic 94][pic 95][pic 96]
3. que  si  es entero positivo.[pic 97][pic 98]

1. Simplifique la expresión .[pic 99]
2. Demuestre lo siguiente:

1. .[pic 100]
2. [pic 101]
3. .[pic 102]

1. Demuestre la fórmula para el cambio de base, a saber:

[pic 103]

Use esta fórmula para calcular .[pic 104]

1. Calcule  primero indirectamente empleando la fórmula del problema 4, y obteniendo de la calculadora los logaritmos base 10 que hagan falta, y luego, directamente obteniendo con la calculadora el logaritmo base  de 85.  Compare los resultados^[4].[pic 105][pic 106]
2. Demuestre que .[pic 107]
3. Haga algunos croquis para darse una idea del aspecto general de las curvas  y  si . ¿Cuál es la situación si ?  ¿Qué ocurre si ?^[5][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]
4. Trace en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de , , y .  Compare las gráficas y comente.[pic 113][pic 114][pic 115]
5. Trace en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de  y .  Compare las gráficas y comente.[pic 116][pic 117]
6. Si se dibujara la gráfica de  y después se duplicaran las ordenadas, ¿sería la gráfica resultante la correspondiente a ?  Explique.[pic 118][pic 119]
7. Calcule el valor de  con una exactitud de 5 cifras decimales a partir de la serie.[pic 120]
8. Escriba una definición para el logaritmo base  de .   ¿Resulta obvio a partir de la definición que ?[pic 121][pic 122][pic 123]
9. Sin recurrir a su calculadora, evalúe la expresión .  Vea el problema 12.[pic 124]
10. Explique por qué  .  Vea el problema 12.[pic 125]
11. Explique por qué .  Vea el problema 12.[pic 126]

46.-La derivada del [pic 127]

 Para encontrar la derivada de la función

[pic 128]

aplicamos el proceso fundamental de diferenciación.  Comenzando en cualquier punto  (Fig. 51) y haciendo que  aumente en una pequeña cantidad , tenemos[pic 129][pic 130][pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

No podemos ver con facilidad qué le ocurre al valor de esta fracción cuando .  No obstante, al multiplicar el numerador y el denominador por , puede escribirse de la siguiente manera[pic 134][pic 135]

[pic 136]

...