FUNCION EXPONENCIAL.
Enviado por danilocarcamo13 • 9 de Febrero de 2016 • Resúmenes • 1.543 Palabras (7 Páginas) • 288 Visitas
FUNCION EXPONENCIAL.
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición:
Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno.
{(x,y) / y = ax, x ∈ R}
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos, puesto que un número positivo jamás se convierte en negativo o cero por mas que se eleve a distintos exponentes..
Propiedades de f(x) = ax, a > 0, a diferente de uno:
- Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1).
- Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
- El eje de x es la asíntota horizontal.
- Si a > 1 (a, base), entonces ax aumenta conforme aumenta x. (función creciente)
- Si 0 < a < 1, entonces ax disminuye conforme aumenta x. (función decreciente)
- La función f es una función uno a uno.
Cuando se trabaja con funciones exponenciales, en algunas ocasiones, es necesario aplicar las propiedades de las exponentes: para a y b números positivos y diferentes de uno, x , y números reales:
- Leyes de los exponentes:
a) | a0 = 1 | Cualquier número elevado al exponente cero es igual a uno |
b) | a1 = a | Un numero elevado al exponente uno es el mismo número |
c) | (ax) (ay) = a x + y | La multiplicación de dos bases iguales con diferente exponente, se pone la misma base y se suman los exponentes |
d) | (a x )y = axy | Cuando un exponente se eleva a otro exponente, ambos se multiplican |
e) | [pic 1] | Cuando la base esta elevada a un exponente negativo, se baja con el exponte positivo |
f) | [pic 2] | En un cociente si el denominador tiene un exponente negativo se sube con el exponente positivo |
g) | [pic 3] | El cociente de dos bases iguales con diferente exponente, es la misma base con los exponentes restados ( al de arriba se le resta el de abajo) |
h) | [pic 4] | El cociente de dos bases diferentes elevadas a un mismo exponente, es el cociente de cada una de las bases a ese mismo exponente. |
Gráfico de la función exponencial
Ejemplo 1
Graficar en un mismo sistema de ejes las funciones f(x) = 2x y g(x) = [pic 5]
Solución:
Como el dominio de la función son todos los reales, procedemos a tabular.
x | f(x) = 2x | y | (x,y) | g(x) = [pic 6] | (x, y) | ||
–3 | f(–3) = 2–3 =[pic 7] | [pic 8] | [pic 9] | g(–3) = [pic 10] | (–3, 8) | ||
–2 | f(–2) = 2–2 = [pic 11] | [pic 12] | [pic 13] | g(–2) = [pic 14] | (–2, 4) | ||
–1 | f(–1) = 2–1 = [pic 15] | [pic 16] | [pic 17] | g(–1) = [pic 18] | (–1, 2) | ||
0 | f(0) = 20 = 1 | 1 | (0, 1) | g(0) = [pic 19]= 0 | (1, 0) | ||
1 | f(1) = 21 = 2 | 2 | (1, 2) | g(1) = [pic 20]= [pic 21] | [pic 22] | ||
2 | f(2) = 22 = 4 | 4 | (2, 4) | g(2) = [pic 23]=[pic 24] | [pic 25] |
Los gráficos quedaran así.
[pic 26][pic 27]
[pic 28]
Ejemplo 2
Graficar en un mismo sistema de ejes las funciones [pic 29] y [pic 30]
Solución: [pic 31]
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