FUNCION EXPONENCIAL.
danilocarcamo13Resumen9 de Febrero de 2016
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FUNCION EXPONENCIAL.
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición:
Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno.
{(x,y) / y = ax, x ∈ R}
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos, puesto que un número positivo jamás se convierte en negativo o cero por mas que se eleve a distintos exponentes..
Propiedades de f(x) = ax, a > 0, a diferente de uno:
- Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1).
- Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
- El eje de x es la asíntota horizontal.
- Si a > 1 (a, base), entonces ax aumenta conforme aumenta x. (función creciente)
- Si 0 < a < 1, entonces ax disminuye conforme aumenta x. (función decreciente)
- La función f es una función uno a uno.
Cuando se trabaja con funciones exponenciales, en algunas ocasiones, es necesario aplicar las propiedades de las exponentes: para a y b números positivos y diferentes de uno, x , y números reales:
- Leyes de los exponentes:
a) | a0 = 1 | Cualquier número elevado al exponente cero es igual a uno |
b) | a1 = a | Un numero elevado al exponente uno es el mismo número |
c) | (ax) (ay) = a x + y | La multiplicación de dos bases iguales con diferente exponente, se pone la misma base y se suman los exponentes |
d) | (a x )y = axy | Cuando un exponente se eleva a otro exponente, ambos se multiplican |
e) | [pic 1] | Cuando la base esta elevada a un exponente negativo, se baja con el exponte positivo |
f) | [pic 2] | En un cociente si el denominador tiene un exponente negativo se sube con el exponente positivo |
g) | [pic 3] | El cociente de dos bases iguales con diferente exponente, es la misma base con los exponentes restados ( al de arriba se le resta el de abajo) |
h) | [pic 4] | El cociente de dos bases diferentes elevadas a un mismo exponente, es el cociente de cada una de las bases a ese mismo exponente. |
Gráfico de la función exponencial
Ejemplo 1
Graficar en un mismo sistema de ejes las funciones f(x) = 2x y g(x) = [pic 5]
Solución:
Como el dominio de la función son todos los reales, procedemos a tabular.
x | f(x) = 2x | y | (x,y) | g(x) = [pic 6] | (x, y) | ||
–3 | f(–3) = 2–3 =[pic 7] | [pic 8] | [pic 9] | g(–3) = [pic 10] | (–3, 8) | ||
–2 | f(–2) = 2–2 = [pic 11] | [pic 12] | [pic 13] | g(–2) = [pic 14] | (–2, 4) | ||
–1 | f(–1) = 2–1 = [pic 15] | [pic 16] | [pic 17] | g(–1) = [pic 18] | (–1, 2) | ||
0 | f(0) = 20 = 1 | 1 | (0, 1) | g(0) = [pic 19]= 0 | (1, 0) | ||
1 | f(1) = 21 = 2 | 2 | (1, 2) | g(1) = [pic 20]= [pic 21] | [pic 22] | ||
2 | f(2) = 22 = 4 | 4 | (2, 4) | g(2) = [pic 23]=[pic 24] | [pic 25] |
Los gráficos quedaran así.
[pic 26][pic 27]
[pic 28]
Ejemplo 2
Graficar en un mismo sistema de ejes las funciones [pic 29] y [pic 30]
Solución: [pic 31]
Como el dominio de la función son todos los reales, procedemos a tabular.
Se sugiere hacer el procedimiento.
x | [pic 32] | y | (x,y) | [pic 33] | (x, y) | ||
–3 | [pic 34] | [pic 35] | [pic 36] | [pic 37] | [pic 38] | ||
–2 | [pic 39] | [pic 40] | [pic 41] | [pic 42] | [pic 43] | ||
–1 | [pic 44] | [pic 45] | [pic 46] | [pic 47] | [pic 48] | ||
0 | [pic 49]= 1 | 1 | (0, 1) | [pic 50] | (1, 0) | ||
1 | [pic 51]=[pic 52] | [pic 53] | [pic 54] | [pic 55] | [pic 56] | ||
2 | [pic 57] | [pic 58] | [pic 59] | [pic 60] | [pic 61] |
[pic 62][pic 63][pic 64]
Un número que frecuentemente sirve de base en el caso de funciones exponenciales es el que se reconoce como “e” cuyo valor es aproximadamente 2.7182818. La función exponencial en este caso resulta ser f(x) = ex cuyo gráfico es:
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