Logica.

ACTIVIDAD

1. De la siguiente elipse 25X^2+9Y^2-50X+36Y-164=225

.

Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

Solución

Reorganizamos la ecuación

25x^2-50x+9y^2+36y=225+164

25x^2-50x+9y^2+36y=389

Factor izamos

25(x^2-2x)+9(y^2+4y)=389

Completamos trinomio .cuadrado .perfecto.

25(x² - 2x + 1²) + 9(y² + 4y + 2²) = 389 + (25)(1) + (9)(4)

convertimos a binomio al cuadrado

25(x - 1)² + 9(y + 2)² = 450

dividimos entre 450

25 ((x-1)^2)/450+9((y+2)^2)/450=450/450

Ahora tenemos la ecuación canónica

((x-1)^2)/18+((y+2)^2)/50=1

Podemos expresarla

(x - 1)²/(3√2)² + (y + 2)²/(5√2)² = 1

que es de la forma

(x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1 ecuación de una elipse vertical donde

(h, k) son las coordenadas del centro ⇒ (1, -2)

a = semi eje mayor ⇒ 5√2

b = semi eje menor ⇒ 3√2

la semi distancia focal c

c = √(a² - b²) = √(50 - 18) = √32 = 4√2

las coordenadas de los vértices

(h, k ± a) ⇒ (1, -2 ± 5√2) ⇒ (1, -2 + 5√2) y (1, -2 - 5√2)

las coordenadas de los co-vértices

(h ± b, k) ⇒ (1 ± 3√2, -2) ⇒ (1 + 3√2, -2) y (1 - 3√2, -2)

las coordenadas de los focos

(h, k ± c) ⇒ (1, -2 ± 4√2) ⇒ (1, -2 + 4√2) y (1, -2 - 4√2)

2. De la siguiente hipérbola 9x2 - 4y2 - 18x - 24y - 27 = 0. Determine

Solución

9x2 - 4y2 - 18x - 24y - 27 = 0

ordenamos la ecuación

9x2 - 18x - 4y2 - 24y= 27

9(x2 - 2x) - 4(y2 - 6y)= 27

completamos cuadrados

9(x2 - 2x + 1 -1) - 4(y2 - 6y +9 -9)= 27

Sacamos el negativo del paréntesis y lo multiplicamos

9(x2 - 2x + 1) -9 - 4(y2 - 6y +9) -36 = 27

9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 - 6y +9) = 27 +9 +36

9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 - 6y +9) = 72

9/72(x2 - 2x + 1) - 4/72(y2 - 6y +9) = 72/72

1/8(x2 - 2x + 1) - 1/18(y2 - 6y +9) = 1

1/8(x-1)^2 - 1/18(x-3)^2 = 1

x-1=0

x=1

x-3=3

x=3

Centro (1,3)

Vértices (1-8^(1/2),3) y (1+8^(1/2),3)

b^2 = c^2 - a^2.

c^2 = 8 + 18

c^2 = 26

c = 26^(1/2)

focos (1+26^(1/2),3) (1-26^(1/2),3)

3. Analice la siguiente ecuación 2x2 + 2y2 – x = 0. Determine:

2x² + 2y² - x = 0

dividimos entre 2

x² + y² - x/2 = 0

ordenamos

x² - x/2 + y² = 0

completamos t.c.p.

x² - x/2 + (1/4)² + y² = (1/4)²

convertimos a binomio al cuadrado

(x - 1/4)² + y² = (1/4)²

ahora

...