Los Numeros Reales

LOS NÚMEROS REALES TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto.

• Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN:

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

COMPRENSIÓN:

Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única

A = { x * * / x < 6 } = { x * * / x* 5 }

B = { x * * / x es par }

C = { x * Z / -7 * x * 7 }

• SÍMBOLO * (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A * B

• OPERACIONES CON CONJUNTOS:

UNIÓN (U): A U B = {x / x * A y / o x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.

Si se tienen los conjuntos A = {x * * / x < 6} y B = {1, 3, 5, 7, 9} entonces

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

INTERSECCIÓN (*): A * B = {x / x * A y x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A * B = {1, 3, 5}

COMPLEMENTARIO (A): El complementario de un conjunto A es el conjunto

A = {x / x * A}. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x * * / x > 7 }

DIFERENCIA: A - B = {x / x * A y x * B} En el ejemplo anterior A - B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES *

Los números naturales son: * = {0, 1, 2, 3, ••••••••} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS Z

Los números enteros son: Z= {•••••••- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, •••••••} es un conjunto infinito y se representan en una recta. * * Z

LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.

es un conjunto infinito y Z * Q ya que

Se representan en una recta.

• Los enteros se representan como enteros.

• Los positivos y menores que la unidad:

se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales

• Los positivos y mayores que la unidad

,

es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:

• Los negativos mayores que - 1:

se dibuja:

• Los negativos menores que -1:

.

Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

• Enteros:

• Decimal exacto:

• Decimal infinito periódico.

• Periódico puro:

• Periódico mixto:

= 2,96666666•••••••

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

• Entero:

• Decimal exacto:

luego se ha de simplificar.

• Decimal infinito periódico:

• Periódico puro: x =

100 x = 135,353535••••••••••

x = 1,353535••••••••••

99 x = 135 - 1 99 x = 134

• Periódico mixto: x =

1000 x = 1318,181818•••••••••

10 x = 13,181818•••••••••

990 x = 1318 - 13 990 x = 1305

LOS NÚMEROS IRRACIONALES *

Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como:

;

;

;.....; * = 3,14159••••••••, e = 2.71828•••••••

;

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.

LOS NÚMEROS REALES *

Los números reales son: * = * U Q y por lo tanto * * * y Q * *

Los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

a < b significa que b - a > 0

a * b significa que b - a * 0

PROPIEDADES

• Si

...