Los Numeros Reales

LOS NÚMEROS REALES TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto.

• Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN:

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

COMPRENSIÓN:

Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única

A = { x * * / x < 6 } = { x * * / x* 5 }

B = { x * * / x es par }

C = { x * Z / -7 * x * 7 }

• SÍMBOLO * (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A * B

• OPERACIONES CON CONJUNTOS:

UNIÓN (U): A U B = {x / x * A y / o x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.

Si se tienen los conjuntos A = {x * * / x < 6} y B = {1, 3, 5, 7, 9} entonces

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

INTERSECCIÓN (*): A * B = {x / x * A y x * B} Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A * B = {1, 3, 5}

COMPLEMENTARIO (A): El complementario de un conjunto A es el conjunto

A = {x / x * A}. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x * * / x > 7 }

DIFERENCIA: A - B = {x / x * A y x * B} En el ejemplo anterior A - B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES *

Los números naturales son: * = {0, 1, 2, 3, ••••••••} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS Z

Los números enteros son: Z= {•••••••- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, •••••••} es un conjunto infinito y se representan en una recta. * * Z

LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.

es un conjunto infinito y Z * Q ya que

Se representan en una recta.

• Los enteros se representan como enteros.

• Los positivos y menores que la unidad:

se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales

• Los positivos y mayores que la unidad

,

es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:

• Los negativos mayores que - 1:

se dibuja:

• Los negativos menores que -1:

.

Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

• Enteros:

• Decimal exacto:

• Decimal infinito periódico.

• Periódico puro:

• Periódico mixto:

= 2,96666666•••••••

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

• Entero:

• Decimal exacto:

luego se ha de simplificar.

• Decimal infinito periódico:

• Periódico puro: x =

100 x = 135,353535••••••••••

x = 1,353535••••••••••

99 x = 135 - 1 99 x = 134

• Periódico mixto: x =

1000 x = 1318,181818•••••••••

10 x = 13,181818•••••••••

990 x = 1318 - 13 990 x = 1305

LOS NÚMEROS IRRACIONALES *

Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como:

;

;

;.....; * = 3,14159••••••••, e = 2.71828•••••••

;

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.

LOS NÚMEROS REALES *

Los números reales son: * = * U Q y por lo tanto * * * y Q * *

Los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

a < b significa que b - a > 0

a * b significa que b - a * 0

PROPIEDADES

• Si a < b entonces a + c < b + c y a - c < b - c

• Si a < b y c > 0 entonces a • c < b • c y

• Si a < b y c < 0 entonces a • c > b • c y

• Si a < b entonces

Esta propiedad vale para los números racionales

Estas propiedades sirven para *.

INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

Intervalos abiertos:

{X / 3 < x < 7} = (3, 7)

{X / x < 7 } = (- *, 7)

{ x / x > 3 } = (3, *)

Intervalos cerrados:

{ x / 3 * x * 7 } = [3, 7]

Intervalos semiabiertos por la derecha o semicerrados por la izquierda:

{ x / 3 * x < 7 } = [ 3, 7 );

{ x / x * 3 } = [ 3, * )

Intervalos semiabiertos por la izquierda o semicerrados por la derecha:

{ x / 3 < x * 7 } = ( 3, 7]

{ x / x * 7 } = ( - *, 7]

INECUACIONES

Consiste en encontrar TODOS los números que verifican una desigualdad. Ejemplo - 3 x + 2 < 3

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Para resolverlas se han de aplicar las propiedades de la ordenación de los números reales.

Y se han de seguir los siguientes pasos:

• Se quitan denominadores si los hubiera.

• Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva con el sistema de lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que está restando pasa al otro lado sumando.

• Lo que está multiplicando (que será positivo) pasara al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo ( que será positivo ) pasa multiplicando.

• La solución, si existe, se dará en forma de operación de intervalos.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.

El método para resolverlas es la siguiente:

• Se quitan denominadores si los hubiera.

• Se ordena en un miembro de la igualdad.

• Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad, y se resuelve la ecuación de segundo grado.

• Los valores obtenidos se representan en la recta.

• Probamos en cada intervalo con un numero si verifica o no la desigualdad. Si el punto verifica la desigualdad, todo el intervalo es solución.

Ejemplo: - 2 x - 3 < x 2 sol ( 1, 3 )

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Z Y BASE UN NÚMERO REAL

Sea a un número real a * * y n un número natural distinto del cero n * * - { 0 } se define potencia de base a y exponente n a:

a n = a • a • • • • • a

CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN

PROPIEDADES

RADICALES DE ÍNDICE ENTERO

La raíz enésima ( de índice n * * ) de un numero real a * * se define como:

n es el índice de la raíz y a es el radicando. Si el índice es n = 2 entonces no se escribe

Las raíces de índice par tienen dos soluciones o ninguna:

Las raíces de índice impar siempre tienen solución y es única:

PROPIEDADES

Para sumar y restar radicales han de tener el mismo índice y el mismo radicando.

Pero

no se puede sumar.

Para multiplicar y dividir radicales han de tener el mismo índice.

RACIONALIZAR

Es realizar les operaciones adecuadas para obtener una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.

CASO 1º Una única raíz en el denominador.

CASO 2º Raíz en el denominador relacionada con sumas o restas con otro número.

CASO •3º Una única raíz en el denominador de índice n > 2.

EXPRESIÓN DE UN RADICAL COMO POTENCIA

Las raíces se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario y al revés, las potencias de exponente fraccionario pueden expresarse como raíces. La equivalencia es la siguiente:

y en general

Las potencias de exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.

APROXIMACIÓN: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO

Para trabajar con números decimales infinitos o números decimales largos, se les aproximan a otros números mediante el truncamiento o el redondeo (ambas cosas las realizan las calculadoras).

TRUNCAR un número significa suprimir les cifres a partir de una determinada.

REDONDEAR un número es conseguir la mejor aproximación con otro que tenga una cantidad determinada de cifras decimales, y depende de la cifra situada a la derecha de la última no suprimida. H

Si un número lo queremos redondear con n cifras decimales y la cifra decimal n+1 es mayor o igual a 5 entonces la cifra enésima se aumenta una unidad, es decir se redondea por exceso. En caso contrario se deja la que estaba, es decir se redondea por defecto.

Ejemplo:

...