Límites de sucesión

3.1 Limite de una sucesión

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0

Calf.

Límite de una sucesión de números reales

Una sucesión tal que tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, hay un valor a partir del cual si n_0″ /> tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l).

Notación

o bien

o también

o simplemente

Ejemplos

• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … converge al límite 0.

• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, … es oscilante.

• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, … converge al límite 1.

• Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.

• 0″ />

•

• 0″ />

Propiedades

• Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.

• Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.

• Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

• Si una sucesion tiende a menos infinito y <img alt=”\,\{a_n\} entonces tiende a 0.

3.1 Límites de sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

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3.4 Propiedades de los limites

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Calf.

El límite de una función en un punto es único.

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m.

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

.4 Propiedades de los límites

3.7 Asíntotas

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0

Calf.

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

Hay tres tipos de asintotas:

1. Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

2. Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

>

>

>

3. Asíntotas oblicuas

Sólo

...